Задача1. Показати що функція є функцією-оригіналом.
 |  |
Розв’язання
Дійсно, функція f(t)локально інтегрована
існує для будь-яких скінчених
і 
. Умова 2° виконана в силу завдання функції.І врешті решт, для будь-яких дійсних
,Тобто в якості М в умові 3° можна вибрати довільне число >1
Задача2. Користуючись означенням, знайти означення функції
Розв’язання
Для функції
маємо . Тому зображення 
буде в усякому разі визначене і аналітичне на півплощині 
. Маємо: 
Тобто,
. Ця функція аналітична при , і крім того вона аналітична всюди, за виключенням точки 
. Це не суперечить означенню, так як останнє гарантує аналітичність 
при 
, але не стверджує, що якщо 
, тоді функція буде всюди аналітична.Задача3. Знайти зображення функції
Розв’язання
Маємо
. За теоремою про інтегрування оригінала 
Задача4.
Розв’язання
Знаходимо оригінал для функції
Для знаходження оригіналу для функції
скористаємось, наприклад. Теоремою про диференціювання зображення. 
Отже,
Тобто,
Висновок
Застосування методів, що використовують перетворення Лапласа знайшло широке застосування в розв’язанні різноманітних задач електротехніки, гідродинаміки, механіки, радіотехніки, а також і ряду інших областей науки та техніки, тому що воно дозволяє мінімалізувати і спростити обчислення складних задач диференціальних рівнянь, рівнянь в частинних похідних, інтегро-диференціальних рівнянь типу згортки. Зокрема, в силу властивості лінійності перетворення Лапласа і його означення розв’язання звичайного лінійного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами задовільнє алгебричному рівнянню першого ступеня, а отже може бути легко знайдено.
Список літератури
1. Владимиров В.С. Уравнения математической физики / В.С. Владимиров-М.:Наука, 1988.-512 с.
2. Свешников А.Г. Теория функций комплексной переменной / А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов. - М.: Наука, 1970. – 304с.
3. Сидоров Ю.В. Лекции по теории функцій комплексного переменного / Ю.В. Сидоров М.В. Федорюк М.И. Шабунин; под ред. Ю.В. Сидорова. – М.: Наука, 1982. -488с