Інтегральні перетворення Лапласа (стр. 1 из 3)

Вступ

В багатьох задачах математичного аналізу розглядаються випадки, в яких кожна точка одного простору ставиться у відповідність деякій точці іншого (або того ж самого) простору. Відповідність між двома точками встановлюється за допомогою перетворення або оператора. В задачу теорії операторів входить докладний опис і класифікація різноманітних видів перетворень і їх властивостей, а також розробка символічних методів, що дозволяють мінімалізувати і спростити обчислення. Застосування операційного метода можна порівняти з логарифмуванням, коли 1) від чисел переходять до логарифмів, 2) над логарифмами проводять дії, що відповідають діям над числами, при тому множенню чисел відповідає більш проста операція складання логарифмів і т.д. 3) від найденого логарифма знов повертаються до числа. В операційному методі широко використовується перетворення Лапласа, яке перетворює певний клас функцій-оригіналів f(t) дійсної змінної t в функцію-зображення F(p) комплексної змінної p.

1. Означення перетворення Лапласа. Оригінал і зображення.

Нехай f [ t] -інтегрована на (0,Т) при довільному Т>0 функція, що дорівнює нулю при t>0 : f[t]=0 при t<0. Якщо ця функція при t>0 задовольняє оцінці:

(1.1)

то можна розглянути інтеграл

(1.2)

Дійсно справджується оцінка

(1.3)

При виведенні (1.3) булазастосованаоцінка (1.1). З оцінки (1.3), зокрема,випливає, що

. Функція є аналітичною функцією комплексної змінної в півплощині . Для того щоб це перевірити, знаходимо поки формально:

(1.4)

Як і при виведенні (1.3), знаходимо

(1.5)

Останнє означає що інтеграл рівномірно по Rep>aзбігається і випливає що похідна

існує при , і формула (1.4) справедлива при .

Інтеграл (1.2) називається перетворенням Лапласа функції

і позначається - . В цьому випадку функція називається оригіналом, а функція –зображенням.

Перетворення Лапласа можна зв’язати з перетворенням Фур’є. Дійсно з (1.2) маємо:

Де

(Перетворення Фур’є із знаком «-»)

2. Властивості перетворення Лапласа L

Лінійність.

Доведення:

В силу властивостей інтеграла:

Диференціювання зображення

Для m=1 властивість вже встановлено. Для довільногоmвластивість доводиться аналогічно.

Перетворення Лапласа похідних.

Для m=1 за допомогою інтегрування частинами знаходимо

При цьому ми врахували, що виконуються наступні оцінки:

При

и . Для довільногоmвластивість 2.3 встановлюється за індукцією

Зсув перетворення Лапласа.

Доведення властивості 2.4 очевидно.

Перетворення Лапласа і його подібності.

Зсув оригінала в перетворенні Лапласа.

Доведення. Позначимо

Очевидно, щоg’[t]=f[t], g[+0]=0

Тому за допомогою інтегрування частинами знаходимо

При цьому ми врахували щоg[+0]=0 в силу умови (1.1)

при

, , .

при

, , .

Звідси знаходимо

Перетворення Лапласа дробуf[t]/t.

Доведення. ПозначивФ[p]=£[f[t]&bsol;t][p] . Знайдемо

Останню рівність про інтегруємо по довільному шляху від р до довільної точки z=Rez=∞

Враховуючи, що в силу (1.3) Ф[∞]=0. І отримаємо потрібну властивість (2.8).

Перетворення Лапласа згортки f*g.

Доведення. Позначимо

Очевидно, що

при t→∞

При довільному έ>0. Для доведення останньої нерівності ми використовуємо також оцінку.

Звідси при

Таким чином, при Rep>a

Тут ми скористалися теоремою Фуббініі змінили порядок інтегрування.

3. Обчислення перетворення Лапласа основних функцій

1. f[t]=e

. Rep>Reλ, λ

2. f[t]=Sin[ωt], ω

R

За формулами Ейлера маємо

Sin[ωt]=

Тому за допомогою 1 маємо:

3.f[t]=cos[ωt], ω

L[cos[ωt]][p]=

Доведення аналогічне.

4. f[t]=Sh[ωt], ω

R

За означенням гіперболічних функцій Sh[ωt]=

/2

5.

Доведення аналогічне.

6.

За властивістю 2.2 маємо:

Зокрема

7.