Анализ обобщенных функций (стр. 2 из 3)
что и доказывает соотношение (3).
Примеры:
1.
2.
3. Преобразование Фурье обобщенных функций
Пусть основное пространство Kсостоит из бесконечно дифференцируемых комплексно-значных функций j(t) действительного переменного t, равных нулю вне некоторого конечного интервала. Преобразование Фурье функции j(t) определяется соотношением
Если рассматривать sкак комплексную переменную s= u+ iv, то
и y(t) – бесконечно дифференцируемая функция (аналитическая) во всей комплексной плоскости. Интегрируя по частям, получаем
В общем случае можно записать
Далее, если
- дифференциальный полином с постоянныим коэффициентами 
то 
Определение. Преобразование Фурье обобщенной функции f(t) называется обобщенная функция F[f(t)] = F(s), определяемая соотношением
(F[f(t)], F[j(t)]) = 2p(f(t), j(t)),
которое для регулярных функций называется равенством Парсеваля.
Свойства преобразования Фурье
1)
2)
3) F-1[F[f(t)]] = f(t), где F-1 – оператор, обратный F, удовлетворяющий соотношению
4) F[F[f(t)]] = 2pf(-t);
5)
Приведем преобразование Фурье от некоторых обобщенных функций.
F[1(t)] = 2pd(u),
F[d(t-a)] = e-iua,
4. Преобразование Лапласа обобщенных функций
Определение. Комплекснозначная функция f(t) действительного переменного tназывается оригиналом, если
1) f(t) = 0 для t < 0;
2) f(t) – кусочно дифференцируема;
3)
Тогда функция
называется преобразованием Лапласа функции f(t). Функция L(p) бесконечно дифференцируема в полуплоскости Rep> aи для нее справедливо соотношение 
Если
то 
где f(+0) – скачок функции f(t) в начале координат. Обратное преобразование Лапласа L-1 равно
Приведем преобразование Лапласа некоторых функций:
Определение. Преобразование Лапласа обобщенной функции f(t) определяется соотношением
Свойства.
1)
2)
3)
Здесь производные нужно рассматривать как производные обобщенных функций.
Заметим, что
4)
тогда
5) Найдем преобразование Лапласа свертки обобщенных функций f(t) и g(t):
Cледовательно
Так как
то 
Аналогично можно написать
Приведем преобразование Лапласа часто используемых обобщенных функций:
где Io- функция Бесселя нулевого порядка.
5.Дифференциальные уравнения в обобщенных функциях
Рассмотрим уравнение
Если f(t) – обычная функция, то его решением является первообразная, то есть
Пусть теперь f(t) – обобщенная функция.
Определение. Обобщенная функция g(t) называется первообразной обобщенной функцией f(t), если
(g'(t), j(t)) = (f(t), j(t)).
Если f(t) – сингулярная обобщенная функция, то возможны случаи, когда ее первообразная – регулярная обобщенная функция. Например, первообразная d(t) является y(t) = q(t); первообразная q(t) является функция y(t) = t+, а решение уравнения
y''(t) = d(t)
можно записать в виде
t(t) = t+ + C1t + C2 (C1, C2 = const).
Рассмотрим линейное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами
(4)где f(t) – обобщенная функция. Обозначим
дифференциальный полином n-го порядка.
Определение. Обобщенным решением дифференциального уравнения (4) называется обобщенная функция y(t), для которой выполняется соотношение
Если f(t) – непрерывная функция, тогда единственным решением уравнения (4.) является классическое решение.
Определение. Фундаментальным решением уравнения (4) называется любая обобщенная функция e(t) такая, что
Функция Грина – фундаментальное решение, удовлетворяющее данному граничному, начальному или асимптотическому условию.
Теорема. Решение уравнения (4) существует и имеет вид
(5)если только свертка определена.
Доказательство. Действительно,
По свойству свертки имеем
В качестве примера рассмотрим уравнение
(6)Нетрудно видеть, что фундаментальным решением этого уравнения является
так как
и
Поэтому
