Анализ обобщенных функций (стр. 3 из 3)

6. Пространство обобщенных функций

Совокупность обобщенных функций, порождаемых основным пространством K, образует пространство K'. Рассмотрим подпространство обобщенных функций

пространства K, состоящее их обобщенных функций, равных нулю вне некоторого конечного интервала принадлежащего [0, ¥]. Введем в этом пространстве операцию умножения двух функций в виде свертки этих функций. Если f(t), g(t) Î то и Кроме того свертка обладает всеми свойствами обычной операции умножения. Роль единицы в играет функция d(t), так как для

Пусть существует

такая что

тогда f^-1(t) называется обратной обобщенной функцией f(t).

Пространство

с введенной операцией умножения образует алгебру (коммутативную) со сверткой.

Рассмотрим алгебру со сверткой

. Обобщенная функция так как она равна нулю всюду, кроме точки ноль. Обобщенная функция сосредоточена вначале координат, поэтому Далее,

поэтому

Теорема. Пусть для

существуют обратные функции f^{- 1}(t) и g^-1(t). Тогда свертка имеет обратную функцию вида

Действительно,

Рассмотрим следующее определенное в

уравнение в свертках

Свертка существует для любой обобщенной функции

так как

Следовательно, y(t) является фундаментальным решением уравнения (4). В частности, фундаментальное решение уравнения (6) с оператором

принадлежит алгебре со сверткой Следовательно,

Рассмотрим операционный метод решения уравнения в свертках. Пусть имеется уравнение

где a(t) и b(t) Î

Среди эффективных методов решения этого уравнения приведем метод преобразования Лапласа. Применив преобразование Лапласа к левой и правой части этого уравнения, имеем

Отсюда следует

Если для функции L(p) существует оригинал, принадлежащий

то он и является искомым решением.

В качестве примера рассмотрим уравнение

Применив к нему преобразование Лапласа, получим (р²-w²) L[y(t)] = 1.

Следовательно,

Откуда находим решение

7.Задача Коши

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение

(7)

Задачей Коши для этого уравнения называется задача, заключающаяся в определении функции

удовлетворяющей этому уравнению и начальным условиям в точке t= t_o:

y_o = y(t_o), y'_o = y'(t_o), . . . , y_o^(n-1) = y^(n-1)(t_o).

Задача Коши имеет единственное решение. Найдем решение, удовлетворяющее уравнению (7), а также начальным условиям.

(8)

t®+0

Запишем уравнение (8) в обобщенных функциях, продолжив функцию f(t) и искомое решение нулевым значением для t<0. Введем функции

и соответствующие обобщенные функции. Начальные условия в этом случае являются скачками функции y(t) и ее производных до n-1-го порядка включительно в точке t= 0. Действительно, рассмотрим вначале случай, когда у функции y(t) только скачок y_o, тогда

где y'(t) – производная в обычном смысле.

Если у функции еще и скачок производной равный y'_o, то

Производную порядка p(p£n-1) обобщенной функции

можно записать в виде

Введем обозначение

Где

Таким образом, дифференциальное уравнение (7) переходит в уравнение

(9)

Преимущество этого уравнения состоит в том, что оно содержит начальные условия Коши и в формулировке задачи участвуют обобщенные функции.

Уравнение в свертках, соответствующее уравнению (9), имеет вид

Если e(t) – его фундаментальное решение, то с учетом последней формулы можно записать

(10)

С помощью вариации постоянных можно записать фундаментальное решение в виде

e(t) = q(t) y_n(t) ,

где y_n(t) - решение однородного уравнения

с начальными условиями

Тогда решение уравнения (10) принимает вид

Таким образом, решение уравнения (7) с начальным условием (8) принимает вид

где предполагается, что f(t) – локально интегрируемая функция.

Пример. Рассмотрим уравнение

y''(t) = 0, t³0

с начальными условиями

limy(t) = y_o, limy'(t) = y'_o

t®+0 t®+0

В этом уравнении а₁ = а₂ = 0 и b₁ = y_o, b₂ = y'_o, а функция y₂(t) = tявляется решением однородного уравнения, удовлетворяющая условиям

y₂(0) = 0 , y'(0) = 1.

Поэтому

y(t) = y_o+ y'_ot, t³0.

Можно также написать