Анализ обобщенных функций (стр. 1 из 3)

Анализ обобщенных функций

Введение

Существуют многие физические модели, которые в терминах обычных функций не могут быть описаны. Например, распределение зарядов вдоль прямой удобно задать плотностью этого распределения. Однако, если на прямой существуют точки, несущие заряды, то плотность такого распределения не может быть описана "обычной" функцией. Другой пример связан с определением производной в точках разрыва функции, когда эта операция носит в выкладках промежуточный характер.

Определение. Основное пространство K^mсостоит из действительных функций j(t), называемыми основными функциями, имеющими непрерывные производные до порядка mвключительно, равными нулю вместе со всеми производными вне конечного интервала. Пространство K^m является линейным.

Пример. Рассмотрим функцию

график которой приведен ниже

j

1

a(a+b)/2 bt

Эта функция принадлежит основному пространству K^o, так как не существуют производные в точках t= aи t= b. Функция (график смотри ниже)

принадлежит пространству K^m.

j

1

a(a+b)/2 bt

Если положить m= ¥для основного пространства K^m, то полученное основное пространство обозначается К. Пусть

тогда, как легко проверить, j(t) ÎK.

1.Обобщенные функции

Определение. Обобщенной функцией f(t) (заданной на прямой (-¥ < t<¥)) называется всякий непрерывный линейный функционал на пространстве основных функций. Он может быть представлен в виде скалярного произведения

(f(t), j(t)) , j(t) ÎK(K^m).

Всякая интегрируемая функция f(t) порождает обобщенную функцию, так как скалярное произведение

есть непрерывный линейный функционал на K. Такие обобщенные функции называются регулярными, остальные (которые не допускают такого представления) – сингулярными. Приведем пример сингулярной обобщенной функции. С этой целью рассмотрим последовательность функций

Так как интеграл Пуассона

то (1)

При n®¥функция d_n(t) вытягивается до бесконечной высоты в точке t= 0, а вне ее становится равной нулю, сохраняя свойство (1). В обычном понимании предел d_n(t) при n®¥не существует. Предел

limd_n(t) = d(t)

n®¥

можно рассматривать как обобщенную функцию, то есть функцию, которая порождается скалярным произведением

(2)

где j (t) – основная функция. Скалярное произведение (2.) есть линейный непрерывный функционал на пространстве основных функций (jÎK). Функция d(t) называется дельта – функцией (обобщенная функция Дирака).

Определим произведение обобщенной функции fна число lсоотношением

(lf, j) = l (f, j) ( jÎK).

Сумма двух обобщенных функций f₁, f₂ определим следующим образом

(f₁ + f₂, j) = (f₁, j) + (f₂, j) ( jÎK).

После этого множество обобщенных функций K' становится линейным пространством.

Определение. Две обобщенные функции f(t), g(t) ÎK' равны: f(t) = g(t), если для любой основной функции j (t)

(f, j) = (g, j) или (f– g, j) = 0.

Обобщенная функция f(t) равна нулю: f= 0, если для любой основной функции j (t)

(f, j) = 0.

Примеры обобщенных функций.

1. Пусть jÎK. Определим обобщенную функцию fс помощью функционала

Приведенная сумма конечна, так как основная функция j(t) равна нулю вне некоторого конечного интервала.

2. Введенную ранее дельта-функцию d(t) определим следующим образом

(d(t), j(t)) = j(0).

Исходя из интегрального представления (2), имеем

Если а(t) – непрерывная функция, то

(а(t) d(t), j(t)) = (d(t), а(t) j(t)) = a(o) j(o) ( jÎK^o).

Отметим, что функционал f, определенный на Kсоотношением

не является обобщенной функцией, так как, являясь непрерывным функционалом, он не линеен.

3. Обобщенная функция Хевисайда

для которой можно записать

является регулярной обобщенной функцией.

2.Действия над обобщенными функциями

Введем в пространстве обобщенных функций K' операцию предельного перехода. Последовательность

сходится к f, если для любого jÎKвыполнено следующее соотношение

(f_n, j) ®(f, j)

n®¥

Определим теперь для обобщенных функций операцию дифференцирования и рассмотрим ее свойства. Производная f'(t) регулярной обобщенной функции f(t) равна

так как основная функция обращается в нуль вне некоторого конечного интервала. Производная n– го порядка будет тогда определяться равенством

(f⁽ⁿ⁾ (t), j(t) = (-1)ⁿ(f(t), j⁽ⁿ⁾ (t)) ("nÎN, jÎK).

Это соотношение определяет производную n– го порядка обобщенных функций, включая и сингулярные функции.

Примеры:

1. Производная функции Хевисайда равна

2. Так как

то

Из определения дельта – функции следует

td(t) = 0,

а значит

d(t) + td'(t) = 0,

2d'(t) + t d''(t) = 0,

---------------------

nd^(n-1)(t) + t d⁽ⁿ⁾(t) = 0.

Отсюда последовательным исключением получаем

tⁿd⁽ⁿ⁾ (t) = (-1) n! d(t) nÎN.

Методом математической индукции можно показать, что

Легко также показать, что если a(t) ÎC^m, то

a(t)d^(m) (t – t_o) = C^o_m a (t_o) d^(m) (t – t_o) - C¹_m a' (t_o) d^(m-1) (t – t_o) –

- . . . – (-1)C^m_m a^(m) (t_o) d(t – t_o) .

Введем обобщенные функции t₊ и t_-:

тогда

Можно вычислить производные

(t₊)' = q(t), (t_-)' = -q(-t),

а также

n

2.1 Свертка обобщенных функций

Пусть f(t) и g(t) - интегрируемые на любом конечном интервале функции. Свертка функций f(t) и g(t) определяется соотношением

если только интеграл существует и интегрируем по любому конечному интервалу переменной х. Равенство двух интегралов легко проверить, сделав замену z= x-t.

Если f(t), g(t) – регулярные обобщенные функции и j(х) ÎK, то можно записать

Произведение f(t) g(u) можно рассматривать как прямое произведение f(t) х g(u), так что

Это соотношение определяет свертку обощенных функций f(t), g(t) ÎK', включая и сингулярные обобщенные функции.

Свертка обобщенных функций обладает следующими свойствами:

1)

2)

3)

4) если

то

(3)

Приведем доказательство последнего соотношения. Действительно, для j(х) Î K

или