Вивчення систем з постійною парною частиною (стр. 2 из 5)

і тому рішення

системи (1) буде

- періодичним тоді й тільки тоді, коли є рішення недиференціальної системи

(7)

Як наслідок цієї леми доведемо наступне припущення.

Твердження 4 Нехай безупинно диференцюєма функція

-періодична й нечетна по , тобто

и.

Тоді всяке продовження на відрізок рішення системи (1) буде -періодичним і парним по .

Доказ. Для доказу досить помітити, що функція

задовольняє рівнянню (5) й умові (6). Тому вона відповідно до властивості 3) є функцією, що відбиває, розглянутої системи. Рівняння (7) в нашім випадку вироджується в тотожність, і йому задовольняє кожне , для якого визначене значення

Відповідно до основної леми будь-яке рішення системи (1) буде

-періодичним. Парність довільного рішення системи (1) треба з тотожностей

справедливих у силу властивості 1) функції, що відбиває.

Справедливі наступні твердження [4].

Теорема 5 Нехай всі рішення системи (1)

-періодичні й однозначно визначаються своїми початковими даними. Тоді, що відбиває функція, цієї системи -періодична по

Теорема 6 Нехай система (1)

-періодична по а її рішення однозначно визначаються своїми початковими даними й існують при всіх Якщо, крім того, що відбиває функція цієї системи -періодична по те всі рішення системи (1) періодичні з періодом

Аналогічна теорема має місце в тому випадку, коли не всі рішення системи (1) продовжимі на відрізок

При цьому висновок про -періодичність можна зробити лише для тих рішень, які існують при всіх

З

-періодичності функції, що відбиває, треба -періодичність всіх продовжимих на рішення періодичної (1)системи . З -періодичності функції, що відбиває, не треба, загалом кажучи , -періодичність рішень -періодичної системи, хоча треба їх -періодичність.

Не слід думати, що якщо всі рішення

-періодичної системи -періодичні, те її функція, що відбиває, зобов'язана бути -періодичної. Цьому суперечить приклад рівняння

У випадку, коли

, тобто коли система (1) вироджується в рівняння, вірна

Теорема 7 Нехай рівняння (1)

-періодичне по а його рішення однозначно визначаються своїми початковими даними й існують при всіх Тоді для того, щоб всі рішення рівняння (1) були -періодичні, необхідна й достатня -періодичність по функції, що відбиває, цього рівняння.

3. Системи парна-непара

Розглянемо систему

(8)

Будемо вважати, що всюди надалі ця система задовольняє умовам:

а) Функція

безупинно диференцюєма, і тому, задача Коші для системи (8) має єдине рішення;

б) Права частина системи (8)

-періодична по .

Лема 8 Нехай система (8) задовольняє умовам а) і б). Тоді продовжині на відрізок

рішення цієї системи буде -періодичним тоді й тільки тоді, коли

– є непарна частина рішення

.

Доказ. Нехай

– -періодичне рішення системи (8). Тоді

Необхідність доведена.

Нехай

– рішення системи (8), для якого . Тоді

і тому

Таким чином, крапка

є нерухлива крапка відображення за період, а рішення – -періодичне.

Доведена лема, питання про періодичність рішення

зводить до обчислення одного зі значень непарної частини

. Іноді відносно можна сказати більше, ніж про саме рішення . Це дозволяє в таких випадках робити різні висновки щодо існування періодичних рішень у систем виду (8). Диференцуємі функції