Вивчення функцій рядів Фур'є (стр. 3 из 6)

і, аналогічно,

Якщо згадати формули, що виражають коефіцієнти Фур'є

, то в якості першого безпосереднього наслідку з леми виходить твердження:

Коефіцієнти Фур'є

кусочно-безперервної функції при прагнуть до нуля.

Другим безпосереднім наслідком є так званий "принцип локалізації".

Взявши довільне позитивне число

, розіб'ємо інтеграл в (14) на два: . Якщо другий з них переписати у вигляді

те стане ясно, що множник при синусі

є кусочно-безперервною функцією від t у проміжку

. У цьому випадку по лемі цей інтеграл при прагне до нуля, так що й саме існування межі для часткової суми ряду Фур'є й величина цієї межі цілком визначається поводженням одного лише інтеграла

Але в цей інтеграл входять лише значення функції f(x), що відповідають зміні аргументу в проміжку від

до . Цим міркуванням доводиться "принцип локалізації", що складає в наступному:

Поводження ряду Фур'є функції f(x) у деякій крапці

залежить винятково від значень, прийнятих цією функцією в безпосередній близькості розглянутої крапки, тобто в як завгодно малій її околиці.

Таким чином, якщо взяти дві функції, значення яких у довільно малій околиці

збігаються, то як би вони не розходилися поза цією околицею, що відповідають цим функціям ряди Фур'є поводяться в крапці однаково: або обоє сходяться, і притім до однієї й тій же сумі, або обоє розходяться.

4. Подання функцій рядів Фур'є

Накладемо на функцію f(x) більше важка вимога, а саме-припустимо її у проміжку

.

Тоді має місце загальна теорема:

Теорема. Якщо функція f(x) з періодом

кусочно-диференцуєма в проміжку , то її ряд Фур'є в кожній крапці сходиться й має суму

Ця сума, мабуть, дорівнює

, якщо в крапці функція безперервна.

Доказ. Відзначимо, що рівність (14) має місце для кожної функції f(x), що задовольняє поставленим умовам. Якщо, зокрема, взяти

, то , і з (14) одержимо, що

Множачи обидві частини рівності на постійне число

й віднімаючи результат з (14), знайдемо

для нашої мети потрібно довести, що інтеграл праворуч при

прагне до нуля.

Представимо його у вигляді

(15)

де покладено

(16)

якби нам удалося встановити що ця функція кусочно-безперервна, то з леми попереднього параграфа варто було б уже, що інтеграл (15) має межу нулю при

. Але в проміжку функція g(x) взагалі безперервна, за винятком хіба лише кінцевого числа крапок, де вона може мати перегони-тому що така функція f(x). Залишається відкритим лише питання про поводження функції g(x) при .

Ми доведемо існування кінцевої межі

;

поклавши тоді g(0)=K, ми в крапці t=0 одержимо безперервність, і застосування леми виявиться виправданим. Але другий множник у правій частині рівності (16) явно має межею одиницю; звернемося до вираження квадратних дужках.

Нехай, для простати, спочатку крапка

лежить усередині проміжку, де функція f(x) диференцуєма. Тоді , і кожне зі співвідношень

(17)

прагне до межі

, а — до нуля. Якщо ж є "крапка стику", то при цьому вона може виявитися як крапкою безперервності, так і крапкою розриву. У першому випадку ми знову зштовхнемося з відношенням (17), але вони будуть прагнути цього разу до різних меж, відповідно-до похідній праворуч і до похідної ліворуч. До аналогічного результату прийдемо й у випадку розриву, але тут заміниться значеннями тих функцій, від склеювання яких вийшла дана, а межами відносин (17) будуть однобічні похідні згаданих функцій при .

Отже, наш висновок справедливо у всіх випадках.

5. Випадок неперіодичної функції

Вся побудована вище теорія виходила із припущення, що задана функція визначена для всіх речовинних значень x і притім має період

. Тим часом найчастіше доводиться мати справа з неперіодичною функцією f(x), інший раз навіть заданої тільки в проміжку .

Що б мати право застосувати до такої функції викладену теорію, уведемо замість її допоміжну функцію

певну в такий спосіб. У проміжку ми ототожнюємо з f(x):

(18)

потім думаємо

а на інші речовинні значення x поширюємо функцію

за законом періодичності.

До побудованого в такий спосіб функції

з періодом можна вже застосувати доведену теорему розкладання. Однак, якщо мова йде про крапку , що строго лежить між і , те, через (18), нас довелося б мати справа із заданою функцією . По тій же причині й коефіцієнти розкладання можна обчислити по формулах обчислення коефіцієнтів не переходячи до допоміжної функції. Коротше кажучи, все доведене вище безпосередньо переноситься на задану функцію , минаючи допоміжну функцію .

Особливої уваги, однак, вимагають кінці проміжку

. При застосуванні до функції теореми попереднього параграфа, скажемо, у крапці , нам довелося б мати справа як зі значеннями допоміжної функції праворуч від , де вони збігаються вже зі значеннями праворуч від ю Тому для як значення належало б взяти