Вивчення функцій рядів Фур'є (стр. 4 из 6)

.

Таким чином, якщо задана функція

навіть безперервна при , але не має періоду , так що , те-при дотриманні вимог сумою ряду Фур'є буде число

відмінне як від

, так і від . Для такої функції розкладання має місце лише у відкритому проміжку .

Наступне зауваження так само заслуговує на особливу увагу. Якщо тригонометричний ряд

сходиться в проміжку

до функції , то через те, що його члени мають період , він сходиться всюди, і сума його теж виявляється періодичною функцією з періодом . Але ця сума поза зазначеним проміжком взагалі вже не збігається з функцією .

6. Випадок довільного проміжку

Припустимо, що функція

задана в проміжку довільної довжини в ньому. Якщо вдатися до підстановки

,

те вийде функція

від у проміжку , теж кусочно-диференцуєма, до якої вже прикладемо розгляду попереднього параграфа. Як ми бачили, за винятком крапок розриву й кінців проміжку, можна розкласти її в ряд Фур'є:

коефіцієнти якого визначаються формулами Ейлера-Фур'є:

повернемося тепер до колишньої змінного

, думаючи

.

Тоді одержимо розкладання заданої функції

в тригонометричний ряд трохи зміненого виду:

(19)

Тут косинуси й синуси беруться від кутів, кратних не

, а . Можна було б і формули для визначення коефіцієнтів розкладання перетворити тією же підстановкою до виду

(20)

Відносно кінців проміжку

зберігають силу зауваження, зроблені в попередньому параграфі щодо крапок Звичайно, проміжок може бути замінений будь-яким іншим проміжком довгі зокрема, проміжком . В останньому випадку формули (20) повинні бути замінені формулами

(20a)

7. Випадок парних і непарних функцій

Якщо задана в проміжку

функція буде непарної, то очевидно

У цьому легко переконається:

.

Таким же шляхом установлюється, що у випадку парної функції

:

.

Нехай тепер

буде кусочно-диференцуєма в проміжку парна функція. Тоді добуток виявиться непарною функцією, і по сказаному

Таким чином, ряд Фур'є парної функції містить одні лише косинусів:

(21)

Тому що

в цьому випадку буде теж парною функцією, те, застосувавши сюди друге зі зроблених вище зауважень, можемо коефіцієнти розкладання написати у вигляді

(22)

Якщо ж функція

буде непарної, то непарної буде й функція , так що

Ми доходимо висновку, що ряд Фур'є непарної функції містить одні лише синусів:

(23)

При цьому через парність добутку

можна писати:

(24)

Відзначимо, що кожна функція

, задана в проміжку , може бути представлена у вигляді суми парних і непарної тридцятимільйонних функцій:

,

Де

Очевидно, що ряд Фур'є функції

саме й складеться з розкладання по косинусах функції й розкладання по синусах функції .

Припустимо, далі, що функція

задана лише в проміжку . Бажаючи розкласти її в цьому проміжку в ряд Фур'є ми доповнимо визначення нашої функції для значень x у проміжку по сваволі, а потім застосуємо сказане в пункті "Випадок неперіодичної функції".