3.Стаціонарні випадкові процеси
Випадковий процес Х(t) називають стаціонарним у вузькому змісті, якщо
F(x1, …, xn; t1, …, tn) = F(x1, …, xn; t1+∆, …, tn+∆)
При довільних
n≥1, x1, …, xn, t1, …, tn; ∆; t1 € T, ti + ∆ € T...
Тут F(x1, …, xn; t1, …, tn) – n-мірна функція розподілу випадкового процесу Х(t).
Випадковий процес Х(t) називають стаціонарним у широкому змісті, якщо
m(t) = m(t + ?), K(t, t') = K(t + ?, t' + ?)
(t € T, t' € T, t + ?€ T), t' + ?€ T)
Очевидно, що зі стаціонарності у вузькому змісті треба стаціонарність у широкому змісті.
З формул:
m(t) = m(t + ?), K(t, t') = K(t + ?, t' + ?)
(t € T, t' € T, t + ?€ T), t' + ?€ T)
Треба, що для процесу, стаціонарного в широкому змісті, можна записати
m (t) = mx(0) = const;
D (t) = K(t, t) = K(0,0) = const;
K(t, t') = K(t - t', 0) = K (0, t' - t)
Таким чином, для процесу, стаціонарного в широкому змісті, математичне очікування й дисперсія не залежать від часу, а K(t, t') представляє собою функцію виду:
K(t, t') = k(?) = k(-?), ? = t' - t.
Видно, що k(?) - парна функція, при цьому
K(0) = В = σ2; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ άi αj k(ti - tj) ≥ 0
Тут D - дисперсія стаціонарного процесу
Х(t), αi (I = 1, n) – довільні числа.
Перша рівність системи
K(0) = В = σ2; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ άi αj k(ti - tj) ≥ 0
треба з рівняння K(t, t') = k(?) = k(-?), ? = t' - t. Перша рівність
K(0) = В = σ2; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ άi αj k(ti - tj) ≥ 0 - простий наслідок нерівності Шварца для перетинів X(t), X(t') стаціонарного випадкового процесу X(t). Остання нерівність:
K(0) = В = σ2; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ άi αj k(ti - tj) ≥ 0
Одержують у такий спосіб:
∑ ∑ αi αj k(ti - tj) = ∑ ∑ K(ti, tj)αi αj = ∑ ∑ M[(αiXi)(αjXj)] = M[(∑ αiXi)2] ≥0
З огляду на формулу кореляційної функції похідній dX(t)/dt випадкового процесу, для стаціонарної випадкової функції X(t) одержимо
K1(t, t’) = M[(dX(t)/dt)*(dX(t’)/dt’)] = δ2K(t, t’) / δtδt’ = δ2k(t’ - t) / δt?t'
Оскільки
?k(t' - t) / ?t = (?k(?) / ??) * (?? / ??) = - ?k(?) / ??,
δ2k(t’ - t) / δtδt’ = - (δ2 k(τ) / δτ2) * (δτ / δt’) = - (δ2 k(τ) / δτ2)
те K1(t, t’) = k1(τ) = - (δ2 k(τ) / δτ2), τ = t' - t.
Тут K1(t, t’) і k1(τ) – кореляційна функція першій похідній стаціонарного випадкового процесу X(t).
Для n-й похідній стаціонарного випадкового процесу формула кореляційної функції має вигляд:
Kn(τ) = (-1)n * (δ2n *k(τ) / δτ2n)
Теорема. Стаціонарний випадковий процес X(t) з кореляційною функцією k(?) безперервний у середньому квадратичному у крапці t € T тоді й тільки тоді, коли
Lim k(?) = k(0)
Для доказу запишемо очевидний ланцюжок рівностей:
M [|X(t+τ)-X(T)|2] = M[|X(t)|2] – 2M[|X(t+τ)X(t)|] + M[X(t)2] =
= 2D-2k(?) = 2[k(0)-k(?)].
Звідси очевидно, що умова безперервності в середньому квадратичному процесу X(t) у крапці t € T
Lim M[|X(t+τ) – X(t)|2] = 0
Має місце тоді й тільки тоді, коли виконується Lim k(?) = k(0)
Теорема. Якщо кореляційна функція k(τ) стаціонарного випадкового процесу X(t) безперервна в середньому квадратичному у крапці τ=0, то вона безперервна в середньому квадратичному у будь-якій крапці τ € R1.
Для доказу запишемо очевидні рівності:
k(?+??)-k(?) = M[X(t+?+??)X(t)] - M[X(t+?)X(t)] =
= M{X(t)[X(t+?+??) - X(t+?)]}
Потім, застосовуючи нерівність Шварца до співмножників у фігурній дужці й з огляду на співвідношення:
K(t, t') = k(?) = k(-?), ? = t' - t.
K(0) = В = σ2; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ άi αj k(ti - tj) ≥ 0
Одержимо:
0 ≤ [k(τ+∆τ)-k(τ)]2≤ M[X(t)2]M[|X(t+τ+∆τ)-X(t+τ)|2] =
= 2D[D-k(??)].
Переходячи до межі при ??>0 і беручи до уваги умова теореми про безперервність k(?) у крапці ?=0, а також перша рівність системи
K(0) = В = σ2 , знайдемо
Lim k(?+??) = k(?)
Оскільки тут ? - довільне число, теорему варто вважати доведеної.
4.Ергодична властивість стаціонарних випадкових процесів
Нехай Х(t) - стаціонарний випадковий процес на відрізку часу [0,T] з характеристиками
M[X(t)] = 0, K(t, t') = M[X(t)X(t')] = k(?),
? = t' - t, (t, t') € T?T.
Ергодична властивість стаціонарного випадкового процесу полягає в тім, що по досить тривалій реалізації процесу можна судити про його математичне очікування, дисперсію, кореляційній функції.
Більш строго стаціонарний випадковий процес Х(t) будемо називати ергодичним по математичному очікуванню, якщо
Lim M {|(1/ T)∫ X(t)dt|2} = 0
Теорема
Стаціонарний випадковий процес Х(t) з характеристиками:
M[X(t)] = 0, K(t, t') = M[X(t)X(t')] = k(?),
? = t' - t, (t, t') € T?T
є ергодичним по математичному очікуванню тоді й тільки тоді, коли
Lim (2/ T) ? k(?) (1 - ?/t)d? = 0.
Для доказу, мабуть, досить переконатися, що справедливо рівність
M{(1/ T) ∫X(t)dt|2} = (2/ T) ∫ k(?) (1 - ?/t)d?
Запишемо очевидні співвідношення
C = M {|(1/ T) ) ∫X(t)dt|2} = (1/ T2) ∫ ? k(t' - t)dt'dt = (1/T) ? dt ? k(t' - t)dt'.
Думаючи тут ? = t' - t, d? = dt' і з огляду на умови (t' = T) > (? = T - t),
(t' = 0)>(? = -t), одержимо
З = (1/T2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ = (1/T2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ + (1/T2) ∫ dt ? k(?)d? =
= -(1/T2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ - (1/T2) ∫ dt ? k(?)d?
Думаючи в першому й другому доданках правої частини цієї рівності відповідно ? = -?', d? = -d?', ? = T-?', d? = -d?', знайдемо
З = (1/T2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ + (1/T2) ∫ dt ? k(T - ?)d?
Застосовуючи формулу Дирихле для подвійних інтегралів, запишемо
З = (1/T2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ + (1/T2) ∫ dt ∫ k(T - τ)dτ = (1/T2) ∫ (T - τ) k(τ)dτ + (1/T2) ∫ ?k (T - ?)d?
У другому доданку правої частини можна покласти ?' = T-?, d? = -d?', після чого будемо мати
З = (1/Т2) ∫ (Т - τ) k(τ)dτ – (1/T2) ∫ (T - ?) k(?)d? = 2/T ? (1- (?/T)) k(?)d?
Звідси й з визначення констант видно, що рівність
M{(1/ T) ∫X(t)dt|2} = (2/ T) ∫ k(?) (1 - ?/t)d?
Справедливо.
Теорема
Якщо кореляційна функція k(?) стаціонарного випадкового процесу X(t) задовольняє умові
Lim (1/T) ? |k(?)| dt = 0
Те X(t) є ергодичним по математичному очікуванню.
Дійсно, з огляду на співвідношення
M{(1/ T) ∫X(t)dt|2} = (2/ T) ∫ k(?) (1 - ?/t)d?
Можна записати
0 ? (2/Т) ? (1 - ?/t) k(?)d? ? (2/T) ? (1- ?/t) |k(?)|d? ? (1/T) ? |k(?)|d?
Звідси видно, що якщо виконано умову, те
Lim (2/T) ? (1 - ?/T) k(?)d? = 0
Тепер, беручи до уваги рівність
З = (1/Т2) ∫ (Т - τ) k(τ)dτ – (1/T2) ∫ (T - ?) k(?)d? = 2/T ? (1- (?/T)) k(?)d?
І умова Lim M {|(1/ T)∫ X(t)dt|2} = 0
Ергодичності по математичному очікуванню стаціонарного випадкового процесу X(t), знаходимо, що необхідне доведено.
Теорема.
Якщо кореляційна функція k(?) стаціонарного випадкового процесу
X(t) інтегрувальна й необмежено убуває при ? > ?, тобто виконується умова
При довільному ? > 0, то X(t) - ергодичний по математичному очікуванню стаціонарний випадковий процес.
Дійсно, з огляду на вираження
Для Т≥Т0 маємо
(1/T) ∫ |k(τ)|dτ = (1/T)[ ∫ |k(τ)|dτ + ∫ |k(τ)|dτ ≤ (1/T) ∫ |k(τ)|dτ ε(1 – T1/T).
Переходячи до межі при Т > ?, знайдемо
0 ? lim ? |k(?)|d? = ?.
Оскільки тут ? > 0 - довільна, скільки завгодно мала величина, то виконується умова ергодичності по математичному очікуванню. Оскільки це треба з умови. Про необмежене убування k(?), те теорему варто вважати доведеної.Доведені теореми встановлюють конструктивні ознаки ергодичності стаціонарних випадкових процесів.
Нехай
X(t) = m + X(t), m=const.
Тоді M[X(T)] = m, і якщо X(t) - ергодичний стаціонарний випадковий процес, то умова ергодичності Lim M {|(1/ T)∫ X(t)dt|2} = 0 після нескладних перетворень можна представити у вигляді
Lim M{[(1/T) ∫ X(t)dt – m]2} = 0
Звідси треба, що якщо X(t) - ергодичний по математичному очікуванню стаціонарний випадковий процес, то математичне очікування процесу X(t) = m + X(t) приблизно може бути обчислене по формулі
M = (1/T) ? x(t)dt
Тут Т - досить тривалий проміжок часу;
x(t) - реалізація процесу X(t) на відрізку часу [0, Т].
Можна розглядати ергодичність стаціонарного випадкового процесу X(t) по кореляційній функції.
Стаціонарний випадковий процес X(t) називається ергодичним по кореляційній функції, якщо
Lim M {[ (1/T) ∫ X(t) X(t + τ)dt – k(τ)]2]} = 0
Звідси треба, що для ергодичного по кореляційній функції стаціонарного випадкового процесу X(t) можна покласти
k (?) = (1/T) ? x(t)x(t + ?)dt
при досить великому Т.
Виявляється, умоваобмеженості k(?) досить для ергодичності по кореляційній функції стаціонарного нормально розподіленого процесу X(t).
Помітимо, випадковий процес називається нормально розподіленим, якщо будь-яка його функція розподілу є нормальною.
Необхідною й достатньою умовою ергодичності стаціонарного нормально розподіленого випадкового процесу є співвідношення
τ0 : lim (1/T) ∫ [k(τ)2 + k(τ + τ0) k(τ – τ0)] (1 – τ/T)d? = 0
Література
1.Кремер М.Ш. Теорія ймовірностей і математична статистика. – К., 2004
2.Кожевников Ю.В. Теорія ймовірностей і математична статистика. – К., 2005
3.Гнеденко Б.Д. Курс теорії ймовірностей. – К., 2005