Межа послідовності. Теорема Штольца (стр. 2 из 3)

2.Властивості збіжних послідовностей

Теорема 1:

Усяка збіжна послідовність має тільки одну межу.

Доказ:

Припустимо, що послідовність {x_n} має дві межі (а ≠ b)

x_n → a, отже x_n = a + α_n, де α_n елемент нескінченно малої послідовності;

x_n → b, отже x_n = b + β_n, де β_n елемент нескінченно малої послідовності;

Оцінимо різницю даних рівностей 0 = a – b + (α_n - β_n),

позначимо α_n - β_n = γ_n, γ_n – елемент нескінченно малої послідовності,

отже, γ_n = b – a,

а це означає, що всі елементи нескінченно малої послідовності рівні тому самому числу b - a, і тоді b - a = 0 по властивості нескінченно малої послідовності,

отже, b = a,

отже, послідовність не може мати двох різних меж.

Теорема 2:

Якщо всі елементи послідовності {x_n} рівні З (постійної), то межа послідовності {x_n}, теж дорівнює С.

Доказ:

З визначення межі, треба, З = З + 0.

Теорема 3:

Якщо послідовності {x_n} і {у_n} сходяться, то й послідовність {x_n + у_n} також сходиться і її межа дорівнює сумі її що складаються (меж).

Доказ:

x_n → a, отже x_n = a + α_n

у_n → b, отже у_n = b + β_n

x_n + у_n = а + b + (α_n + β_n)

позначимо α_n - β_n = γ_n, отже x_n + у_n = а + b + γ_n, γ_n елемент нескінченно малої послідовності;

отже,

Наслідок: різниця двох збіжних послідовностей є послідовність збіжна, і її межа дорівнює різниці їхніх меж.

Теорема 4:

Якщо послідовності {x_n} і {у_n} сходяться, то й послідовність {x_n * у_n} також сходиться і її межа дорівнює добутку її множників (меж).

Доказ:

x_n → a, отже x_n = a + α_n

у_n → b, отже у_n = b + β_n

x_n * у_n = (а + α_n)*(b + β_n)=аb+(а β_n + bα_n + α_n β_n)

позначимо γ_n = а β_n + bα_n + α_n β_n, де γ_n елемент нескінченно малої послідовності, виходить

x_n * у_n = ab+ γ_n,

отже,

Теорема 5:

Якщо послідовності {x_n} і {у_n} сходяться до чисел а й b відповідно, і якщо b ≠ 0, межа частки

існує, кінцевий і дорівнює частці меж.

Доказ:

Так як послідовність {у_n} сходиться до b, те по визначенню збіжної послідовності, для будь-якого ε > 0, найдеться N(ε), такий що для всіх n > N, буде виконаються нерівність |b – y_n|< ε.

Тоді поклавши

, бачимо, що

,

звідки треба

отже

.

Так як, відповідно до умови b ≠ 0, то з останньої нерівності треба, що для всіх n > N елементи послідовності {у_n} не рівні 0, значить саме із цього номера N можна визначити послідовність

x_n = a + α_n

у_n = b + β_n, отже

позначимо γ_n = α_пb – aβ_n, γ_n елемент нескінченно малої послідовності.

,

а тоді з останньої рівності, треба

,

звідки

3.Приклади знаходження меж послідовності

Числова послідовність задана загальним членом x_п, розглянемо його:

при знаходженні такої межі говорять, що будемо розкривати невизначеність виду

.

при знаходженні такої межі, говорять, що будемо розкривати невизначеність виду .

Для розкриття невизначеності

ділимо чисельник і знаменник на найбільший ступінь n.

Таким чином, має місце правило:

Межа відносини двох багаточленів дорівнює нескінченності, якщо ступінь чисельника більше ступеня знаменника, нулю, якщо ступінь чисельника менше ступеня знаменника й відношенню коефіцієнтів при старших членах, якщо ступеня чисельника й знаменника рівні.

Для спрощення задачі знаходження межі послідовності, вищевказаного виду, ми вдаємося до допомоги теореми Штольца.

4.Теорема Штольца

Для визначення меж невизначених виражень

типу часто буває корисна наступна теорема, що належить Штольцу (O. Stolz).

Теорема: Нехай варіанта

, причому – хоча б починаючи з деякого місця – зі зростанням п і у_п зростає: тобто у_п+1 > y_n. Тоді

якщо тільки існує межа праворуч (кінцевий або навіть нескінченний).

Доказ: Допустимо спочатку, що ця межа дорівнює кінцевому числу L:

Тоді по будь-якому заданому

найдеться такий номер N, що для n > N буде

або

.

Виходить, яке б n > N не взяти, всього дробу

лежать між цими границями. Тому що знаменники їх, через зростання у_п разом з номером п, позитивні, то між тими ж границями втримується й дріб

чисельник якої є сума всіх чисельників, написаних вище дробів, а знаменник - сума всіх знаменників. Отже, при n > N

запишемо тотожність

звідки

.

Другий доданок праворуч, як ми бачили вище, при n > N стає <

.

Перший же доданок, через те, що, також буде <

, скажемо, для n > N^’. Якщо при цьому взяти N^’ > N, то для n > N^’ очевидно

,

що й доводить наше твердження.

Випадок нескінченної межі приводиться до вище розглянутого. Нехай, наприклад,

Звідси, насамперед, випливає, що (для досить більших n)

отже, разом з у_n і

, причому варіанта х_п зростає зі зростанням номера п. У такому випадку, доведену теорему можна застосувати до зворотного відношення :

(тому що тут межа вже кінцева), звідки й треба, що

,

що й було потрібно довести.

5. Приклади на застосування теореми "Штольца"

1. Обчислити

Установимо одну допоміжну нерівність (нерівність Як. Бернуллі):

якщо п - натуральне число, більше одиниці, і ?>1, те

(*)

Дійсно, поклавши ? =1+?, де ? > 0, по формулі Бінома Ньютона будемо мати:

тому що ненаписані члени позитивні, те