Межа послідовності. Теорема Штольца (стр. 3 из 3)
,що рівносильне нерівності (*).
так само й у нашій задачі, поклавши а = 1+?, так що ? > 0, маємо по формулі Бінома Ньютона
.Тому що для n > 2, мабуть,
, те остаточно, 
При k = 1, одержуємо відразу
так що
Тому що цей результат вірний при будь-якому а > 1, те, взявши k > 1, можемо затверджувати (принаймні, для досить більших n)
так що
(а > 1).Доведений, таким чином, для k = 1, цей результат тим більш буде вірний і для k < 1.
Цей результат за допомогою теореми Штольца виходить відразу
2. Застосуємо теорему Штольца до доказу наступної цікавої пропозиції (Коші):
Якщо варіанта ап має межа (кінцева або нескінченний), то та ж межа має й варіанта
(«середнє арифметичне» перших п значень варіанти ап).
Дійсно, думаючи по теоремі Штольца
маємо:
Наприклад, якщо ми знаємо, що
, те й 
3. Розглянемо тепер варіанту (уважаючи до - натурального)
,яка представляє невизначеність виду
.Думаючи в теоремі Штольца
будемо мати
АЛЕ
так що
використовуючи наступне твердження
, 
Другий множник тут має кінцева межа
. Якщо ступеня багаточленів рівні k = l, то межа відносини багаточленів дорівнює межі відносини коефіцієнтів при старших ступенях багаточленів.Якщо k < l, то розглянуте відношення прагне до
Якщо k > l, то розглянуте відношення прагне до
у підсумку ми одержуємо
Висновок
У даній роботі ми розглянули теорему Штольца і її застосування на практиці. Розглянуті приклади показують, що дана теорема в достатній мері полегшує процес знаходження меж невизначених виражень
, допомагаючи обчислити шукану межу, не прибігаючи до допоміжних нерівностей.Список літератури
1. Г.М.Фихтенгольц. Курс диференціального й інтегрального вирахування. – К., 2004
2. Б.П.Демидович. Збірник задач і вправ по математичному аналізі. - К., 2001
3. Л.Д. Кудрявцев. Курс математичного аналізу, т.1. - К., 1998.