Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами (стр. 2 из 6)

(14)

де

. Розв’яжемо систему (14) щодо невідомих . Із першого, третього і четвертого рівнянь системи (14) знайдемо вирази для

. (15)

Прирівняємо вирази для

(15) із першого і четвертого та першого і третього рівнянь системи (14), отримаємо два вирази для

, (16)

. (17)

Прирівнявши між собою вирази для

із (16) і (17), отримаємо рівняння

(18)

Де

Підставивши перший вираз для

(15) і перший вираз для (16) в друге рівняння системи (14) отримаємо рівняння

(19)

Де

Підставивши третій вираз для

(15) і перший вираз для (16) в п’яте рівняння системи (14) отримаємо рівняння

(20)

де

Ми отримали систему трьох лінійних рівнянь (18-20) щодо трьох невідомих

. Розв’язавши її отримаємо

(21)

Із формул (15), (16), (17) і (21) для параметрів

випливає, що необхідною умовою існування наближення ермітовим сплайном з ланкою (13) є виконання умови .

3. Многочленні ермітові сплайни

При

отримаємо ермітовий сплайн з парною кількістю параметрів .

Ланка такого сплайна має вигляд

. (22)

Означення 3. Нехай

, - многочлен 3-го степеня На множині задані значення функції та її похідної. Кубічним ермітовим сплайном називатимемо функцію з ланкою (22)

, (23)

яка задовольняє систему рівнянь

(24)

де

- параметри сплайна на -й ланці;

Згідно означення 3 параметри ланки ермітового сплайна (23) з ланкою (22) задовольняють системі рівнянь (24)

(25)

де

- ліва, а - права границі ланки; , . Розв’яжемо систему (25) щодо невідомих . Отримаємо формули для обчислень значень параметрів:

(26)

При

отримаємо ермітовий сплайн з непарною кількістю параметрів . Ланка такого сплайна має вигляд

(27)

Означення 4. Нехай

, - многочлен 4-го степеня. На множині задані значення функції та її похідних до - го порядку включно, а на множині задані значення функції . Многочленним ермітовим сплайном 4-го степеня називатимемо функцію виду (3), яка задовольняє систему рівнянь

(28)

Згідно з означенням 4 параметри ланки (27) ермітового сплайна (23) задовольняють системі рівнянь (28):

(29)

де

. Розв’яжемо систему (29) щодо невідомих . Із першого, третього і четвертого рівнянь системи (29) знайдемо вирази для

. (30)

Прирівняємо вирази для

(31) із першого і четвертого та першого і третього рівнянь системи (29), отримаємо два вирази для

(31)

(32)

Прирівнявши між собою вирази для

із (32) і (33), отримаємо рівняння

(33)

Підставивши перший вираз для

(30) і перший вираз для (31) в друге рівняння системи (29) отримаємо рівняння

(34)

Підставивши третій вираз для

(30) і перший вираз для (31) в п’яте рівняння системи (30) отримаємо рівняння

(35)

Ми отримали систему трьох лінійних рівнянь (23-35) щодо трьох невідомих

. Розв’язавши її отримаємо

(36)

Із формул (30), (31), (32) і (36) для параметрів

випливає, що необхідною умовою існування наближення ермітовим сплайном з ланкою (27) є виконання умови .

4. Похибки наближення ермітовими сплайнами

Максимальна похибка

рівномірного наближення нелінійними ермітовими сплайнами з парною кількістю параметрів у ланці має вигляд

, (37)

а для ермітових сплайнів з непарною кількістю параметрів

(38)

де

- кількість ланок сплайна на інтервалі , - вагова функція, - ядро похибки наближення, - дефект ермітового сплайна, . Для ермітового сплайна з ланкою (13) кількість параметрів , дефект сплайна за означенням , величина . Щоб скористатись формулами (37) і(38), потрібно мати вираз для ядра похибки наближення , який би не залежав від параметрів ланки сплайна . Вирази для конкретних ядер можна знайти, використовуючи властивості ядер похибок, які випливають із обмінних теорем.