Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами (стр. 3 из 6)

Теорема 1. Нехай для функції

при існує єдине наближення ермітовим сплайном з парною кількістю параметрів з вузлами і ланками вигляду

(39)

Тоді для функції

на проміжку з тими ж вузлами існує єдине наближення ермітовим сплайном з парною кількістю параметрів і ланками вигляду

(40)

Нехай

— найбільша відносна похибка наближення функції на проміжку ермітовим сплайном з ланкою (39), а — найбільша відносна похибка наближення функції на проміжку ермітовим сплайном з ланкою вигляду (40). В цьому випадку між параметрами наближень мають місце співвідношення;

(41)

. (42)

Доведення. Сплайн з ланкою вигляду (39) характеризується системою рівнянь

(43)

а сплайн з ланкою вигляду (40) — системою рівнянь

(44)

Надалі опускаємо індекс, який вказує на приналежність параметра до

-ї ланки. Із системи (44) при матимемо

.

Подамо

як , про логарифмуємо це рівняння і отримаємо

,

де

.Тобто при рівняння із системи (44) зведене до рівняння із системи (43).

При

рівняння із системи (44) має вигляд

.

Помножимо чисельник і знаменник цього рівняння на

.

Оскільки з умов теореми

не дорівнюють нулю, то рівність досягається за умови, що

,

а це і є рівняння із системи (43) при

.

Використовуючи метод математичної індукції, покажемо, що рівняння із системи (44) зводиться до рівнянь із системи (43) за довільних

. Нехай це доведено для . Доведемо для . Рівняння із системи (43) при :

.

Для

рівняння із системи (44) має вигляд

.

Про диференціюємо це рівняння і отримаємо

Перший доданок в квадратних дужках дорівнює нулю через рівність нулю останнього співмножника. Рівняння набере вигляду

.

Множник, який стоїть перед квадратними дужками, не дорівнює нулю з умов теореми, отже нулю дорівнює вираз у квадратних дужках. А це і є рівняння із системи (43). Отже, ми довели, що за довільних

рівняння в системах (43) і (44) еквівалентні, а , значить, і системи рівносильні. Тому при , а .

Доведемо справедливість відношення (43) для похибок наближення. Оскільки системи (43) і (44) рівносильні, то точки, в яких досягається максимальні похибки, збігаються. Нехай

точка , в якій досягається максимальна похибка наближення функції ермітовим сплайном з ланкою (39). Тоді похибка в цій точці дорівнює

.

Із цієї рівності випливає, що

.

У правій частині маємо відносну похибку наближення функції

ермітовим сплайном з ланкою (40) на проміжку . Звідси . Теорема доведена.

За допомогою цієї теореми можна отримувати наближення ермітовим сплайном з ланкою (40) шляхом знаходження наближення ермітовим сплайном з простішою ланкою (39). Зокрема, наближення до функції

ермітовим сплайном з ланкою вигляду зводиться до наближення функції ермітовим сплайном з ланкою . При цьому найбільша відносна похибка першого наближення виражається через найбільшу абсолютну похибку другого наближення.

Теорема 2. Нехай для функції

при існує єдине наближення ермітовим сплайном з непарною кількістю параметрів з вузлами і ланками вигляду

(45)