Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами (стр. 4 из 6)

Тоді для функції

на проміжку з тими ж вузлами існує єдине наближення ермітовим сплайном з непарною кількістю параметрів і ланками вигляду

(46)

Нехай

— найбільша відносна похибка наближення функції на проміжку ермітовим сплайном з ланкою (45), а — найбільша відносна похибка наближення функції на проміжку ермітовим сплайном з ланкою вигляду (45). В цьому випадку між параметрами наближень мають місце співвідношення;

(47)

. (48)

Доведення. В теоремі 1 до системи рівнянь (42) додається рівняння

, (49)

а до системи (43) рівняння

(50)

Для доведення цієї теореми для ермітових сплайнів з непарною кількістю параметрів необхідно довести еквівалентність рівнянь (48) і (50). Для цього перепишемо (50) у вигляді

.

Про логарифмуємо і отримаємо

,

де із умови теореми 2

, а .Тобто рівняння (50) зведено до (49). Теорему доведено.

Властивість 1. Нехай

при . Тоді

(51)

Доведення. Із теорем 1 і 2 випливає, що наближення функції

на ермітовим сплайном з ланкою може бути знайдено через наближення функції на цьому проміжку ермітовим сплайном з ланкою . При цьому із формули (42) випливає, що максимальна відносна похибка першого наближення виражається через максимальну абсолютну похибку другого наближення

Із рівності похибок і формули (37) матимемо

.

Цей вираз справедливий для довільних

, і проміжків лише в тому випадку, якщо підінтегральні вирази рівні між собою. Із їх рівності випливає вираз (51).

Тепер можна вивести аналітичний вираз для ядра похибки наближення

ермітовим сплайном з ланкою (1). Ядро похибки наближення многочленом степеня має вигляд . Застосувавши формулу (52), отримаємо

. (52)

Для ермітового сплайна з експоненціальною ланкою (6) ядро матиме такий вигляд:

.

А для ланки (13)

5. Рівномірне наближення ермітовими сплайнами

Наближення функції

ермітовим сплайном називаємо рівномірним наближенням з заданою похибкою , якщо ,де - вага наближення, .

Алгоритм рівномірного наближення ермітовими сплайнами з заданою похибкою. Алгоритм не залежить від виду сплайна.

1. Будуємо ланку нелінійного ермітового сплайна на всьому інтервалі

. Ліва границя права

2. Знаходимо похибку наближення

.

3. Якщо

, то наближення побудоване. Кінець.

4. Якщо

, то зсуваємо праву границю інтервалу вліво, поки похибка на даному інтервалі не стане меншою від заданої похибки . Допустимо, що при -му зсуві границі вліво (т. )похибка рівна , а на попередньому кроці ( права границя ). Тоді можна знайти таку праву границю , при якій похибка буде як завгодно мало відрізнятися від заданої . Точку можна знайти одним із відомих способів, наприклад методом ділення відрізка навпіл або методом хорд.

5. Запам’ятовуємо границі ланки і параметри ермітового сплайна.

6. Лівою границею наступної ланки є права границя попередньої ланки. Правою границею можна завжди вважати т.

, але можна також екстраполювати точкою де - довжина попередньої ланки.

7. Будуємо сплайн і знаходимо похибку.

8. Якщо

, то переходимо до пункту 4.

9. Якщо

і , то і переходимо до пункту 7. В протилежному випадку, при , запам’ятовуємо границі та параметри нелінійного ермітового сплайна. Рівномірне наближення з заданою похибкою знайдено.

Очевидно, що описаний алгоритм приводить до єдиного рішення, якщо наближувана функція

і сплайн такі що функція похибки

,

є неспадною функцією від

. Для цього достатньо, щоб ядро наближення при .

Із означення ермітового сплайна можна запропонувати інший алгоритм знаходження його параметрів. При

(парна кількість параметрів) параметри визначаються із тих же рівнянь, що й у випадку фіксованих вузлів, до яких додаються рівняння для точки екстремуму і правої границі .