Сильная дифференцируемость отображения Fозначает, что разность
F(x+h)—F(x)
может быть представлена в виде суммы линейного члена и слагаемого, имеющего порядок выше первого относительно ||h||. Обобщением этого факта является формула, аналогичная формуле Тейлора для числовых функций.
Теорема 2. Пусть F— отображение, действующее из X в У, определенное в некоторой области О
X и такое, что F(n)(x) существует и представляет собой равномерно непрерывную функцию от х в О. Тогда имеет место равенствоf(x + h)-F(x) = F'(x)h +
F"(x)(h, h)+ ...... +
F(n)(x)(h,…,h) + щ (х, h), (21)где
Доказательство будем вести по индукции. При n= 1 равенство (21) тривиально. Возьмем теперь произвольное фиксированное nи предположим, что равенство, получающееся из (21) заменой nна n-1, уже доказано для всех отображений, удовлетворяющих условиям теоремы, в которых nзаменено на п-1. Тогда для отображения F'имеем
F'(x+ h) = F'(x) + F"(x)h+
F"'(x)(h,h) + ...… +
F(n)(x)(h,…,h) + щ1 (х, h), (22)где
||щ1 (х, h)|| = o(||h||n-1)
Интегрируя обе части равенства (22) по отрезку [х, x+h] и пользуясь формулой Ньютона — Лейбница (15), мы получим
, (21)Где
.из (23) получаем
А(ч+ р)-А (х)= Аэ(ч)р +
АЭ(ч)(рбр)+ ююю…+
F(n)(x)(h,…,h) + Rn, причем||Rn||
Тем самым наше утверждение доказано.
Формулу (21) называют формулой Тейлора для отображений.
В этой работе представлены некоторые первоначальные понятия , относящиеся к нелинейному функциональному анализу, в основном к теории дифференцирования, и некоторые применения этих понятий.
Некоторые задачи, возникающие в функциональном анализе, носят существенно нелинейный характер; они приводят к необходимости развивать наряду с «линейными» и « нелинейными» функциональный анализ, т.е изучать нелинейные функционалы и нелинейные операторы в бесконечномерных пространствах.
К нелинейному функциональному анализу относится, по существу, такая классическая область математики, как вариационное исчисление, основы которого были заложены еще в XVII-XVIIIвв. в работах Бернулли, Эйлера, Лагранжа. Однако в целом нелинейный функциональный анализ представляет собой сравнительно новую область математики, пока еще далекую от своего завершения.
1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. - Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука, 1981. – 475 с.
2. Шилов Г.Е. – Дифференцирование функций в линейном пространстве. Ярославль, 1978. – 118стр.
3. Банах С. – Дифференциальное и интегральное исчисление. М.,Наука, 1972. – 424стр.