Дифференцирование в линейных нормированных пространствах (стр. 1 из 4)

Министерство образования и науки Российской федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Тюменский государственный университет

Институт математики и компьютерных наук

Кафедра информатики и математики

КУРСОВАЯ РАБОТА

По дисциплине «Математический анализ»

на тему:

Дифференцирование в линейных нормированных пространствах

Выполнила: студентка 393 гр.

Жукова И.А.

Проверил: доцент кафедры МиИ

Салтанова Т.В.

Тюмень 2010

Оглавление

Введение

Основные понятия

Сильный дифференциал (дифференциал Фреше)

Слабый дифференциал (дифференциал Гато)

Формула конечных приращений

Связь между слабой и сильной дифференцируемостью

Дифференцируемые функционалы

Абстрактные функции

Интеграл

Производные высших порядков

Дифференциалы высших порядков

Формула Тейлора

Заключение1

Список литературы:

Введение

Функциональный анализ — разделматематики, в котором изучаются бесконечномерные пространства и их отображения.

Понятие нормированного пространства – одно из самых основных понятий функционального анализа. Теория нормированных пространств была построена, главным образом, С. Банахом в 20-х годах 20 века. Функциональный анализ за последние два десятилетия настолько разросся, настолько широко и глубоко проник почти во все области математики, что сейчас даже трудно определить самый предмет этой дисциплины. Однако в функциональном анализе есть несколько больших «традиционных» направлений, которые и поныне в значительной степени определяют его лицо. К их числу принадлежит дифференцирование линейных нормированных пространств.

Основные понятия

Определение 1. Непустое множество

называется линейным пространством, если оно удовлетворяет следующим условиям:

Й. Для любых двух элементов

однозначно определен элемент , называемый их суммой, причем

1.

(коммутативность)

2.

(ассоциативность)

В

существует такой элемент 0, что для всех

4. Для каждого

существует такой элемент , что .

II. Для любого числа

и любого элемента определен элемент , причем

5.

6.

III. Операции сложения и умножения связаны между собой дистрибутивными законами:

7.

8.

Определение 2. Линейное пространство

называется нормированным, если на нем задана неотрицательная функция , называемая нормой, удовлетворяющая условиям:

для любого

и любого числа ;

для любых

(неравенство треугольника).

Определение 3. Оператором называется отображение

,

где

- это линейные пространства.

Определение 4. Оператор

называется линейным, если для любых элементов и любых чисел Rвыполняется равенство:

Определение 5. Пусть

- линейные нормированные пространства,

– линейный оператор,

Линейный оператор непрерывен в точке

, если из того, что

следует, что .

Определение 6. Линейный оператор

непрерывен, если он непрерывен в каждой точке .

Определение 7. Линейный оператор называется ограниченным, если

Утверждение. Для линейного нормированного пространства непрерывность линейного оператора равносильна его ограниченности.

Определение8. Наименьшая из констант Mтаких, что

, называется нормой оператора А и обозначается .

В частности, выполняется

Справедливо следующее утверждение: для любого ограниченного линейного оператора

Сильный дифференциал (дифференциал Фреше)

Пусть X и У — два нормированных пространства и F— отображение, действующее из X в Yи определенное на некотором открытом подмножестве О пространства X. Мы назовем это отображение дифференцируемым в данной точке

, если существует такой ограниченный линейный оператор Lx

ж (X, Y),что для любого е> 0 можно найти д > 0, при котором из неравенства ||h||< д следует неравенство

||F(x+ h)-F(x)-L_xh||<е||h|| (1)

То же самое сокращенно записывают так:

А(ч + р)-А(ч)-Д_чр = щ(р)ю(2)

Из (I) следует, что дифференцируемое в точке х отображение непрерывно в этой точке. Выражение L_xh(представляющее собой, очевидно, при каждом h

Xэлемент пространства У) называется сильным дифференциалом (или дифференциалом Фреше) отображения Fв точке х. Сам линейный оператор L_xназывается производной, точнее, сильной производной отображения Fв точке х. Мы будем обозначать эту производную символом F'(x).

Если отображение Fдифференцируемо в точке, то соответствующая производная определяется единственным образом. В самом деле, равенство

||L₁h— L₂h|| = o(h)для операторов

L_i

ж (X, У), i= 1, 2,

возможно, лишь если L₁= L₂.

Установим теперь некоторые элементарные факты, непоcредственно вытекающие из определения производной.

Если F(x) = y₀ = const, то F'(x) = О (т. е. F'(х)

в этом случае есть нулевой оператор).

Производная непрерывного линейного отображения Lесть само это отображение:

L'(x)=L(3)

Действительно, по определению имеем

L(x+ h)-L(x) = L(h).

3. (Производная сложной функции). Пусть X, У, Z— три нормированных пространства, U(x0)—окрестность точки х₀

Х, F — отображение этой окрестности в У, у₀ = F(x₀), V(y_o) — окрестность точки у₀ У и G— отображение этой окрестности в Z. Тогда, если отображение Fдифференцируемо в точке х_о, aGдифференцируемо в точке у_о, то отображение Н = GF(которое определено в некоторой окрестности точки х₀) дифференцируемо в точке х_о и