Методика формирования умений решать тригонометрические уравнения и неравенства в курсе алгебры и начал анализа (стр. 12 из 14)

Целью этапа является выявление уровня сформированности основных умений необходимых для решения тригонометрических уравнений и неравенств.

Для реализации цели, поставленной на данном этапе, были сформулированы следующие задачи:

1. Выявить умение учащихся определять положение точки на единичной окружности, соответствующей данному углу;

2. Установить умение учащихся отмечать угол соответствующий конкретному значению конкретной тригонометрической функции;

3. Проверить умения определять принадлежность угла соответствующей четверти и оперировать с формулами приведения;

4. Вычислять значения тригонометрических функций и обратных тригонометрических функций некоторых углов (как положительных, так и отрицательных);

Для реализации данных задач были использованы методы:

- контрольная работа;

- наблюдение.

Учащимся была предложена контрольная работа, состоящая из 7 заданий. Задания контрольной работы были выбраны в соответствии с умениями, необходимыми для решения тригонометрических уравнений и неравенств.

Текст самостоятельной работы

1. Отметьте на единичной окружности точку

, если

.

2. В какой четверти координатной плоскости расположена точка

, если

равно:

4. Отметьте на тригонометрической окружности точки

, если:

4. Приведите выражение к тригонометрическим функциям I четверти.

а)

б) в) г) д)

5. Дана дуга МР. М – середина I – ой четверти, Р – середина II-ой четверти.

Ограничить значение переменной t для: (составить двойное неравенство)

а) дуги МР;

б) дуги РМ.

6. Записать двойное неравенство для выделенных участков графика:

7. Решите неравенства sinx > 1, sinx <-1 , cosx > 1, cosx <-1

8. Преобразовать выражение cos5xcos4x-sin5xsin4x

Результаты диагностирующего эксперимента.

Результаты контрольной работы отражены в таблице в количественном и процентном отношении.

Решили здание на обозначение точки на окружности	73,6%
Решили задания на принадлежность угла соответствующей четверти	42,1%
Отметили угол по значению функции	42,1%
Преобразование функции к углу I четверти	26,3%
Составили двойные неравенства для дуг окружности	42,1%
Составили тригонометрические неравенства для дуг графика функции	68,4%
Решили неравенства с помощью свойств функции	36,8%
Преобразовали выражение	73,62%

1 задание: (задание на обозначение точки).

Справилось 14 человек.

Ошибки: Неверное деление на доли тригонометрической окружности. Неверное определение четверти.

2 задание: (задание на принадлежность угла к координатной четверти).

Справилось 8 человек.

Ошибки: Неумение определять положение отрицательного угла. Неверное представление десятичной дроби к виду обыкновенной.

3 задание: (определение угла по значению конкретной функции). Справилось 8 человек.

Ошибки: Определение не пар точек у функций синус и косинус, а только одной. Для функции y = tgx учащиеся отмечают точку не на окружности, а на прямой, изображающей линию тангенса

4 задание: (задание на преобразование угла к острому).

Справилось 5 человек.

Ни один из учеников не ответил правильно на все формулы. Вероятно, что у учеников нет чёткого понимания принадлежности угла к интервалу

5 задание: (составление двойных неравенств для дуг тригонометрической окружности)

Справилось 8 человек.

Ошибки: сложность вызывает определение дуги, расположенной ниже мнимой прямой МР, а именно обозначение той точки дуги, которая обозначается отрицательным значение

.

6 задание: (составление двойных неравенств для дуг графика тригонометрической функции).

Справилось 13 человек.

Ошибки: Учащиеся затрудняются в определении направления той дуги, которая расположена в левой части графика, т.е. граничные значения которых имеют отрицательное значение. «Они ведут по дуге от центра»

7 задание: (решение тригонометрических неравенств с помощью свойств тригонометрических функций).

Справилось 7 человек.

Ошибки: Сложно выделить трудности, т.к. учащиеся, не справившиеся с заданием, не приступали к его выполнению.

8 задание: (преобразование выражения)

Справилось 14 человек.

Ошибки: Используется аналогия с формулой синуса разности.

В результате наблюдения работы учащихся у доски, а так же в ходе устной работы было замечено, что учащиеся более верно выполняют задания под руководством учителя.

Таким образом, анализ результатов самостоятельной работы и наблюдений показал что:

1. Учащиеся не уделяют должного внимания определению области применимости некоторых формул и правил;

2. Определяют точку на единичной окружности –73,6% учащихся;

Определяют принадлежность угла соответствующей четверти – 42,1% учащихся;

Отмечают угол по значению функции - 42,1 % учащихся;

Выполняют задание на преобразование угла к острому – 26,3% учащихся;

Составили двойные неравенства для дуг тригонометрической окружности– 42,1% учащихся;

Составили двойные неравенства для дуг графика тригонометрической функции– 68,4% учащихся;

Решили тригонометрические неравенства с помощью свойств тригонометрических функций–36,8% учащихся;

Упрощают выражение – 73,6 % учащихся.

Это говорит о том, что при обучении учащихся решать тригонометрические уравнения и неравенства необходимо акцентировать внимание учащихся на работу с тригонометрической окружностью.

Обучающий эксперимент

Целью данного этапа является формирование у учащихся умений решать тригонометрические уравнения и неравенства.

Для реализации поставленной цели сформулированы следующие задачи:

1. В соответствии с результатами предыдущего этапа внести коррективы в разработанную методику формирования у учащихся решать тригонометрические неравенства, направленную на развитие тригонометрических представлений;

2. Применять данную систему задания на уроках и дополнительных занятиях со слабыми учащимися.

3. Организовать деятельность учащихся на занятиях, направленную на формирование умений решать тригонометрические неравенства.

Для реализации данных задач были проведены уроки и дополнительные занятия. Содержание этих занятий включало в себя теоретическую и практическую часть.

Фрагмент урока направленный на формирование умений решать тригонометрические неравенства

Решим тригонометрическое неравенство

.

Шаг 1. Начертим единичную окружность, отметим на оси абсцисс точку

. Проведем через нее прямую, параллельную оси ординат. Эта прямая пересечет единичную окружность в двух точках. Каждая из этих точек изображает числа, косинус которых равен

Шаг 2. Эта прямая разделила окружность на две дуги. Выделим ту из них, на которой изображаются числа, имеющие косинус больший, чем

. Естественно, эта дуга расположена выше проведенной прямой.

Шаг 3.Выберем один из концов отмеченной дуги. Запишем одно из чисел, которое изображается этой точкой единичной окружности

.

Шаг 4. Для того чтобы выбрать число, соответствующее второму концу выделенной дуги, «пройдем» по этой дуге из названного конца к другому. При этом напомним, что при движении против часовой стрелки числа, которые мы будем проходить, увеличиваются (при движении в противоположном направлении числа уменьшались бы). Запишем число, которое изображается на единичной окружности вторым концом отмеченной дуги

.

Таким образом, мы видим, что неравенству

удовлетворяют числа, для которых справедливо неравенство . Мы решили неравенство для чисел, расположенных на одном периоде функции косинус. Поэтому все решения неравенства могут быть записаны в виде .