Методика формирования умений решать тригонометрические уравнения и неравенства в курсе алгебры и начал анализа (стр. 13 из 14)
Фрагмент урока направленный на формирование умений решать тригонометрические неравенства
Решим тригонометрическое неравенство
.Шаг 1. Начертим единичную полуокружность. Исключим верхнюю и нижнюю точки, так как они изображают числа, тангенс которых не существует. Отметим на линии тангенсов точку -1 и соединим эту точку с началом координат. Эта прямая пересечет единичную окружность. Точка пересечения изображает числа, тангенс которых равен -1.
Шаг 2. Выделим дугу, для точек которой тангенс больше или равен -1. Один из концов этой дуги уже обозначен числом
. 
Шаг 3. Второй конец дуги в случае решения неравенств с тангенсом всегда можно обозначить как арктангенс соответствующего числа. В данном случае это арктангенс -1, то есть
. Теперь, учитывая, что тангенс периодическая функция с периодом 
, получаем решения неравенства: 
Внимательно рассмотрите рисунок и разберитесь, почему все решения неравенства
могут быть записаны в виде 
Решим тригонометрическое неравенство
Неравенства такого вида
, в принципе становится решаемым только после преобразования выражения стоящего в правой части неравенства. Получим, 
, а затем с помощью таблицы значений основных тригонометрических функций имеем простое неравенство 
, решение которого не должно вызвать затруднений у учащихся.Фрагмент урока направленный на формирование умений решать тригонометрические неравенства
Решим тригонометрическое неравенство
.Шаг 1. Начертим единичную окружность, отметим на оси ординат точку
и проведем через нее прямую, параллельную оси абсцисс. Эта прямая пересечет единичную окружность в двух точках. Каждая из этих точек изображает числа, синус которых равен .Шаг 2. Эта прямая разделила окружность на две дуги. Выделим ту из них, на которой изображаются числа, имеющие синус больший, чем
. Естественно, эта дуга расположена выше проведенной прямой. 
Шаг 3.Выберем один из концов отмеченной дуги, например, справа. Запишем одно из чисел, которое изображается этой точкой единичной окружности
. 
Шаг4. Для того чтобы выбрать число, соответствующее второму концу выделенной дуги, «пройдем» по этой дуге из названного конца к другому против часовой стрелки, учитывая, что числа, которые мы будем проходить, увеличиваются. Запишем число, которое изображается на единичной окружности вторым концом отмеченной дуги 
.Таким образом, мы видим, что неравенству
удовлетворяют числа, для которых справедливо неравенство 
.Мы решили неравенство для чисел, расположенных на одном периоде функции синус. Поэтому все решения неравенства могут быть записаны в виде
.Фрагмент урока направленный на развитие умения решать тригонометрические уравнения
Решим тригонометрическое уравнение tgx = -1
Шаг 1. Начертим единичную окружность. Исключим верхнюю и нижнюю точки, так как они изображают числа, тангенс которых не существует. Отметим на линии тангенсов точку -1 и соединим эту точку с началом координат. Эта прямая пересечет единичную окружность. Точка пересечения изображает числа, тангенс которых равен -1.
Шаг 2. Точки пересечения проведенной прямой с окружностью это и есть решения данного уравнения, в данном случае это арктангенс -1, то есть
и 
. 
Шаг 3. Учитывая, что тангенс периодическая функция с периодом , получаем решения уравнения
Диагностирующий эксперимент
Целью данного этапа является определение эффективности разработанной методики.
Для реализации данной цели были сформулированы следующие задачи:
1. Провести контролирующую самостоятельную работу, позволяющую определить уровень сформированности у учащихся умений решать тригонометрические неравенства.
2. Сделать соответствующие выводы об использовании данной методики, её корректировке или полном изменении.
Для решения данных задач была проведена контрольная работа, аналогичная работе, предложенной на подготовительном этапе.
Текст контрольной работы.
1. Отметить на единичной окружности точки Pt, для которых соответствующие значения t удовлетворяют равенству
Справилось –15 человек (78,9 %);.
2. Определить принадлежность угла соответствующей четверти, если α равно
. 
Справилось – 10 человек (52,6%);
3. Отметить угол α по значению функции
Справилось – 10 человек (52,6%);
4. Выполнить задание на преобразование угла к острому
а)
б) 
Справилось – 5 человек (26,3%);
5. Составить двойные неравенства для дуг тригонометрической окружности.
R – середина III четверти, К – середина IV четверти. Составить двойное неравенство для дуг КR и RК.
Справилось – 12 человек (63,2%);
6. Составить двойные неравенства для дуг графика тригонометрической функции
Справилось – 13 человек (68,4%);
7. Решить тригонометрические неравенства с помощью свойств тригонометрических функций cosx<1, sinx>0
Справилось – 10 человек (52,6%);
8. Упростить выражение cos5xcos4x+sin5xsin4x
Справилось – 15 человек (78,9%);
9. Решить неравенство
Справилось – 12 человек (63,2 %).
1. Ученики более внимательно работают с тригонометрической окружностью, более точно обозначают точки на окружности, определяют направление нужной дуги и приступают к решению неравенств после рассмотрения условий применимости свойств функции, необходимых для решения.
2. Сравнение результатов тестирования до и после эксперимента позволяет представить их в графической форме.
Работа с учащимися по формированию осознанного и качественного научения решать тригонометрические неравенства прошла успешно. Об этом свидетельствуют:
· Улучшение результатов проверочных работ
· Отношение самих учащихся к проведённым занятиям.
Школьники с интересом принимали участие в процессе обучения.
Таким образом, цель эксперимента достигнута. Его результаты удовлетворительны. Данная методика имеет возможность применения на занятиях по алгебре и началам анализа в общеобразовательной школе.
Заключение
Проработав соответствующую психолого-педагогическую и методическую литературу по данному вопросу, очевидно, сделать вывод о том, что умение и навыки решать тригонометрических уравнения и неравенства в школьном курсе алгебры и начал анализа являются очень важными, развитие которых требует значительных усилий со стороны учителя математики.
Таким образом, учитель сам обязан в достаточной мере владеть методиками формирования умений и навыков решать тригонометрические уравнения и неравенства. С учётом того, что тригонометрические уравнения и неравенства разделяются на несколько типов, то соответственно и методика для каждого типа различна.