Методика формирования умений решать тригонометрические уравнения и неравенства в курсе алгебры и начал анализа (стр. 8 из 14)
2.2 Методика формирования у учащихся решать тригонометрические уравнения
В процессе формирования у школьников умений решать тригонометрические уравнения рекомендуется выделить три этапа:
1. подготовительный,
2. формирование умений решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства,
3. введение тригонометрических уравнений и неравенств других видов и установление приемов их решения.
Цель подготовительного этапа состоит в том, чтобы, во-первых, начать формирование у школьников умения использовать тригонометрический круг или график функции для решения уравнения; во-вторых, познакомить учащихся с применением свойств тригонометрических функций для решения уравнений вида
и т.п.; в-третьих, специально обратить внимание школьников на применение различных приемов преобразований выражений при решении тригонометрических уравнений.Реализовать этот этап рекомендуется в процессе систематизации знаний школьников о свойствах тригонометрических функций. Основным средством могут служить задания, предлагаемые учащимся и выполняемые либо под руководством учителя, либо самостоятельно. Приведем примеры таких заданий:
1) найти все числа отрезка
, для которых верно 
и т.п.,2) отметить на единичной окружности точки Pt, для которых соответствующие значения t удовлетворяют равенству
и т.п.,3) используя график функции
, указать множество чисел, для которых верно 
4) решить уравнения
а)
,б)
,в)
,г)
,д)
,5) решить уравнения:
а)
,б)
,в)
.Обратим внимание на два последних задания. В основе решения предложенных уравнений, как правило, – применение определений синуса, косинуса числа (либо таких свойств тригонометрических функций, как наличие корней, наличие экстремумов у функций синус и косинус). Выполнение пятого задания предполагает решение совокупностей тригонометрических уравнений рассматриваемого вида (например, последнее уравнение преобразуется следующим образом:
, то есть имеем совокупность уравнений 
или 
). Следует специально обратить внимание учащихся на цель преобразований тригонометрических выражений при решении предложенных уравнений: замена данного выражения, тождественно ему равным и зависящим от одной тригонометрической функции, либо преобразование выражения в произведение линейных множителей относительно тригонометрических функций.Реализация второго этапа обучения школьников решению тригонометрических уравнений, на котором происходит формирование умений решать простейшие уравнения, предполагает введение понятий «арксинус числа», «арккосинус числа» и т.д., получение общих формул решения простейших тригонометрических уравнений, формирование умений иллюстрировать решение простейших тригонометрических уравнений с помощью графика соответствующей функции или тригонометрического круга.
В настоящее время понятия арксинуса, арккосинуса числа и т.д. вводятся без обращения к функции, которая является обратной по отношению соответственно к функциям синус, косинус и т.д. В качестве основы введения указанных понятий используется так называемая теорема о корне. Указанная теорема применяется и для введения способа решения простейших тригонометрических уравнений. Это требует выделять в процессе получения формул, задающих множества их решений, несколько пунктов: 1) рассматривается промежуток, длина которого равна наименьшему положительному периоду функции, представленной в левой части уравнения и на котором определено понятие арксинуса, арккосинуса или арктангенса числа (в зависимости от предложенного уравнения); если эта функция – синус или косинус, то промежуток разбивается на два); 2) данное уравнение решается на каждом промежутке; основой решения служит теорема о корне, которая конкретизируется для соответствующей тригонометрической функции; 3) на основе свойства периодичности рассматриваемой тригонометрической функции делается вывод о том, что числа
или 
(здесь 
- решение уравнения, принадлежащее выделенным промежуткам) являются решениями данного уравнения; этот вывод используется для получения формулы решений.Рекомендуем предложить учащимся и другой способ получения формулы решений простейшего тригонометрического уравнения. Раскроем его суть, обратившись к решению уравнения
( 
и 
).Так как
, то данное уравнение обязательно имеет решения, одно из которых принадлежит промежутку . Обозначим его . Тогда 
. С учетом принятых обозначений данное уравнение приводим к виду: 
. Преобразуем левую часть уравнения в произведение: 
; это дает возможность заменить данное уравнение равносильной совокупностью простейших тригонометрических уравнений 
или 
. Используя свойство функций синус и косинус (множество корней), получаем: 
или 
. Теперь осталось выразить 
через 
( 
или 
) и записать общую формулу для нахождения решений уравнения.Предложим рекомендации, связанные с методикой организации деятельности учащихся на втором этапе обучения решению тригонометрических уравнений. При этом будем ориентироваться на использование второго способа получения общей формулы решений простейшего тригонометрического уравнения.
Во-первых, мотивировать целесообразность получения общего приема решения простейших тригонометрических уравнений можно, обратившись, например, к уравнениям
, 
. Используя знания и умения, приобретенные на подготовительном этапе, учащиеся приведут предложенные уравнения к виду 
; 
, но могут затрудниться в нахождении множества решений каждого из полученных уравнений. Указанных затруднений можно избежать, если обратиться к соответствующей иллюстрации (решение уравнения графически или с помощью тригонометрического круга), но и в этом случае остается открытым вопрос: нельзя ли получить общие формулы для записи множеств решений тригонометрических уравнений вида , 
( 
и 
), 
( ), которые дадут возможность сразу фиксировать искомые множества.