Невласні подвійні інтеграли (стр. 2 из 4)

Замінюючи подвійний інтеграл зліва досить близькою до нього нижньою сумою Дарбу, збережемо нерівність

В цій сумі залишаємо лише ті доданки, яким відповідають

позначивши сукупність відповідних елементів через ( )_, отримаємо,

Позначимо через (P̃_n) область, складену з (Р_n) і (р̃_n); такяк

то, складаючи почленно цю нерівність з попередньою, знайдемо

Область (р̃_n), а з нею і (Р̃_n), можна деформувати так, щоб з останньої вийшла зв'язна область (Р'_n), і притому за площею, що настільки мало різниться від (Р̃_n), що все ж зберігається нерівність

Цього легко досягти, сполучаючи відірвані частини області вузькими «коридорами» з довільно малою загальною площею.

Звідси вже ясно, що інтеграл (5) не може бути збіжним, всупереч припущенню; це протиріччя і доводить теорему.

Відмітимо, що принципова різниця між одновимірним і двовимірним випадками пов'язана саме із завершальною частиною проведеного міркування. Незв'язну лінійну область, що складається з окремих проміжків, вже не можна довільно малою деформацією перетворити в цілісний проміжок.

Доведена теорема зводить питання про збіжність і обчислення невласного інтеграла від довільної функції до такого ж питання для додатної (від’ємної) функції.

Інтеграли від необмежених функцій.

Нехай функція f(x,y) задана в обмеженій області (Р), але сама виявляється необмеженою в околі окремих точок М_1, М_2,…в будь - якій частині області (Р), що не містить цих точок.

Виділимо тепер особливі точки М_1, М_2,…оточивши їх кривими (К₁),(К₂),... Якщо видалити з області (Р) обмежені цими кривими околи особливих точок, то ми отримаємо область (Р'),для якої по припущенню інтеграл

є збіжний. Будемо «стягувати» криві (К₁),(K₂),... у вказані точки так, щоб найбільша з відстаней точок цих контурів (К) до відповідних точок M(позначимо її через ρ) прямувала до нуля . Відмітимо, що при цьому і площі даних околів (менші ніж πρ²), також прямуватимуть до нуля.

Інтеграл (невласний) від необмеженої функції f(x,y) по області (Р) визначається як границя інтеграла (7) при ρ→0:

Особливі точки можуть лежати і уздовж деяких особливих ліній, які ми завжди будемо передбачати такими, що мають площу 0. В цьому випадку доводиться оточувати ці лінії околами, що «стискуються» до них.

Проте точна характеристика граничного процесу, що мається на увазі тут, вимагає ще деяких пояснень. Нехай особлива лінія (l) оточена околом з контуром (К). Якщо узяти точку А на (К),то з відстаней цієї точки від різних точок В на (l) існує найменша, ρ_А;з іншого боку, якщо змінювати положення А на (К), то зі всіх ρ_Азнайдеться найбільше, ρ. Це число в деякому розумінні і характеризує міру віддаленості контура (К) від кривої (l), і граничний процес виражається умовою: ρ → 0. (За наявності декількох кривих під ρ зрозуміло найбільше з подібних чисел.) Тут також можна довести, що разом з ρ прямує до нуля і площа даного околу.

Нарешті, визначення невласного інтеграла легко поширюється на випадок необмеженої області і визначеної в ній функції, яка на скінченній відстані має особливі точки.

З а у в а ж е н н я. Якби при побудові невласного інтеграла, окрім особливих точок (або ліній), ми стали виділяти і деякі такі точки (або лінії), які на ділі не є особливими, то ця обставина ніяк не могла б відбитися ні на існуванні, ні на величині тієї межі, якою представляється інтеграл. Насправді, припустимо, наприклад, до особливих точок додається неособлива точка А і, крім того, що необхідне визначення невласного інтеграла, - ми виділяємо ще околицю цієї точки А. Алепоблизу А функція обмежена, і інтеграл по згаданому околі, разом з її площею, прямує до 0.

Приведення подвійного інтеграла до повторного.

Обмежимося спочатку припущенням, що функція f(x,y) невідємна. Якщо ця функція задана в необмеженій області будь-якої форми, то, вважаючи її додатною поза цією областю рівною нулю, завжди можна звести справу до випадку необмеженої прямокутної області. Припустимо, що йдеться про нескінченний в одному напрямі прямокутник [a,b; c,+∞] (a,b,c-граничні числа, причому b>а). Передбачимо, що в кожному граничному прямокутнику [а, b;c, d](при будь-якому d>c) існують як подвійний інтеграл, так і одновимірний інтеграл по y - обоє увласному сенсі, так що має місце формула

Бажаючи встановити подібну формулу для нескінченного прямокутника, тобто для випадку d=+∞, припустимо, що збігається повторний інтеграл

Оскільки при будь-якому d>cмаємо

то по попередньому матеріалузвідси вже випливає збіжність подвійного інтеграла

який, вочевидь, не перевершує I. Залишається лише довести, що подвійний інтеграл рівний I.

Якщо інтеграл

є функцією від х, інтегровану у власному сенсі, отже, обмежену деякою постійною L, то і поготів

В такому разі

Зіставляючи це з (9) і (10), приходимо до необхідного результату.

Встановлений факт зберігає силу і в тому випадку, якщо інтегралIзбігається, як невласний. Припустимо, наприклад, bєєдиною особливою точкою для функції

від х. Тоді подоведеному, при ,

і обидві частини рівності при 𝜂→0 прямують до І. Беручи до уваги, що

знову говоримо про рівність подвійного і повторного інтегралів за прямокутником [а, b;c,+∞].

Відмітимо, що якби невласний повторний інтеграл мав нескінченне значення, то, як видно з попередніх двох співвідношень, таке ж було б і значення подвійного інтеграла.

Отже, маємо подібно (9)

причому з існування повторного інтеграла з права вже випливає існування подвійного інтеграла. Рівність зберігається навіть у тому випадку, коли інтеграл з права рівний +∞.

Звернемося, нарешті, до розгляду прямокутника [а,+∞; c,+∞], що тягнеться в нескінченність по двох взаємно перпендикулярних напрямках. І тут передбачимо, що в кожному кінцевому прямокутнику [а, b; c, d](при будь-яких b>aі d>c)існують у власному сенсі подвійний інтеграл і простий інтеграл по y.

Для даного випадку також може бути встановлена формула

у припущенні, що повторний інтеграл з права збігається. Це легко випливає з (12) переходом до межі при b→+∞, на кшталт того, як вище ми (12) отримали з (11). І тут подвійний інтеграл виявляється рівним +∞, якщо таке значення повторного інтеграла.

Скажемо тепер декілька слів відносно випадку, коли функція f(x,y) міняє знак; обмежимося для визначеності формулою (12). У граничному прямокутнику [а, b; c, d](при d>c)ми зберігаємо колишні припущення, але, разом із збіжністю повторного інтеграла від самої функції:

ми цього разу допустимо збіжність повторного інтеграла і від її абсолютної величини:

Тоді подібні ж повторні інтеграли існуватимуть і для функцій f₊(x,y) і f_-(x,y). Застосовуючи до цих негативних функцій порізно доведену формулу (12) і віднімаючи результати, переконаємося в справедливості цієї формули і для даної функції f(x, y).