Невласні подвійні інтеграли (стр. 3 из 4)
2 Обчислення
Заміна змінних в невласних інтегралах.
Нехай в площинах ху і ξ𝜂 маємо, відповідно, обмежені області (D) і (∆), зв'язані формулами перетворення:
або зворотними їм:
з дотриманням всіх умов.
Нехай, далі, в області (D) задана функція
неперервна усюди, за винятком граничного числа окремих точок або навіть кривих, де вона звертається в нескінченність.Покажемо, що за цих умов рівність
має місце, якщо лише збігається один з цих інтегралів; збіжність іншого звідси вже випливатиме.
Дійсно, якщо особливі точки і особливі лінії першого інтеграла в області (D) виділити їх околами, то відповідними околами в області (∆) виділяться особливі точки і особливі лінії другого інтеграла. Нехай при цьому вийдуть область (D') на площині хуі область (∆') на площині ξ𝜂. Тоді
Передбачаючи неперервність відповідності між областями (D) і (∆) в обидві сторони , легко побачити, що при «стисканні» околів на площині худо оточених ними точок або ліній такий же процес відбуватиметься і з околами на площині і навпаки. Звідси ясно, що, переходячи в попередньому співвідношенні до границі, із збіжності одного з інтегралів ми дійсно можемо говорити про збіжність іншого і в той же час про наявність рівності (15).
Можна було б допустити навіть, що в окремих точках області (∆) або уздовж окремих лежачих в ній ліній (не пересікають раніше розглянутих в цій області особливих ліній) звертається в нескінченність якобіан J(ξ,𝜂), а з ним і підінтегральна функція другого з інтегралів. Хоча відповідні точки і лінії на площині ху не є особливими для першого інтеграла, але їх виділення, по зауваженню, не створює скрути, так що при нових припущеннях висновок залишається в силі.
Відмітимо ще, що і в даному випадку часто доводиться стикатися з порушенням неперервності або взаємної однозначності відповідності в окремих точках або уздовж окремих ліній.
Нарешті, звернемося до випадку, коли хоч одна з областей (D), (∆)є необмеженою.
Якщо ці області тягнуться в нескінченність, причому точки їх, що знаходяться на кінцевій відстані, зв'язані відповідністю (14) або (14а), то, відокремивши (відповідними) кривими обмежені частини цих областей, (Dʹ) і (∆ʹ), ми при дотриманні вказаних вище умов матимемо рівність (16). Оскільки згадані криві, вочевидь, можуть віддалятися в нескінченність лише одночасно, то залишається лише перейти в (16) до межі, аби отримати (15), причому знову із збіжності одного з інтегралів випливає збіжність іншого.
Нехай тепер, скажімо, область (D) прямує в нескінченність, а область (∆) ні, і точки області (D) зв'язані відповідністю зі всіма точками області (∆), за винятком окремої точки (або кривої), яка, так би мовити, відповідає нескінченно видаленій частині контура області (D).
Відокремившикривою обмежену частину області (D), ми відповідній кривій в області (∆) виділимо згадану точку (або криву) і тим отримаємо області (Dʹ) і (∆ʹ), до яких вже прикладені колишні міркування. Відмітимо, що заміна змінних разом з переходом до повторного інтегралу є вельми зручним засобом для встановлення існування невласних подвійних інтегралів.
3 Приклади
1) Встановити умови збіжності інтегралів (m>0);
Рішення. У полярних координатах ці інтеграли зведуться до наступних:
Вочевидь, умови збіжності будуть:
(а)m<1, (б) m>1, (в) m<1.
2) Аналогічне питання по відношенню до інтегралів (
) 
Вказівка. Вдатися до підстановки
Відповідь. (а)
(б) 
(в) 
Ті ж відповіді вийдуть і у разі, коли зміна змінних в задачах 1), 2) обмежується сектором між променями θ = θ0 і θ = θ1.
3) Якщо область (D1) зміни змінних х,yкриволінійний трикутник АОВ, обмежений відрізком АO осі х, дугою ОВ параболи y = х2 і дугою ВА кола x2+y2= 1, то інтеграл
для якого початок як і раніше слугує особливою точкою, все ж існує (хоча не існує для круга!). Дійсно, при переходідо полярних координат інтеграл утворюється до вигляду
звідки і витікає сказане.
4) Аналогічно, взявши за область трикутник АОС (той же малюнок), можна встановити існування інтеграла 
для якого особливими будуть точки А і С. Так як в полярних координатах рівняння лінії АС буде
, то запропонований інтеграл зводиться до наступного: 
який явно існує.
5)На порівнянні з інтегралами, розглянутими в 1),ґрунтується наступна ознака збіжності:
Якщо (D) є: (а) обмежена область, що містить початкову точку, або (б) область, що тягнеться в нескінченність, не містить початкової точки, то інтеграл від функціїf(x,y)в (D) збігається, оскільки f(x,y)в (D) може бути представлена у вигляді
де
обмежена і, відповідно випадку,(а) т<1 або (б) m>1.Легко перефразувати цю ознаку для випадку, коли початкова точка замінена будь-якою точкою (х0, у0).
6) Перевірити збіжність подвійного інтеграла від функції
поширеного на: (а) трикутник ОВС, (б) квадрат ОАВС, (в)нескінченну смугу YСВЕ, (г)нескінченний трикутник ЕВG, (д)нескінченний квадрат EВF.
Через
позначений кут променя OBзполярною віссю.Відповідь. У випадках (а), (г) інтеграл не сходиться (тим більше це справедливо для випадків (б)і(д)!); у випадку (в) інтеграл збігається, він рівний
7) Подвійний інтеграл
існує,або існує повторний:
Його легко обчислити, якщо перейти до полярних координат; перший квадрант, на площині хуперетвориться при цьому в смугу на площині r
обмежену прямими 
= 0, r = 0 і = 
. Таким чином, 
Тому, що
Відповідь. Інтеграл рівний
.Висновок
У цій курсовій роботі розглянуто означення і основні властивості невласного подвійного інтеграла, особливості і відмінності від інших визначених інтегралів.
Вказані задачі приводять до двох пов'язаних між собою видів інтегралів: невизначеного і визначеного. Вивчення властивостейі обчислення цих інтегралів і складають основну задачу інтегрального. числення. Введений визначений інтеграл як границя інтегральних сум, передбачаючи при цьому, що відрізок інтегрування скінченний, а інтегральна функція на цьому відрізку обмежена. Якщо хоча б одна з цих умов порушувалась, то наведене вище означення визначеного інтеграла стає неприйнятним: у випадку нескінченного проміжку інтегрування його не можна розбити на п частинних відрізків скінченної довжини, а у випадку необмеженої функції інтегральна сума явно не має скінченної границі. Узагальнюючи поняття визначеного інтеграла на ці випадки, приходимо до невласного інтеграла — інтеграла від функції на необмеженому проміжку або від необмеженої функції.