Площади в геометрии (стр. 1 из 3)

Исторические сведения

В Киевской Руси мер площади, как квадратных мер, судя по сохранившимся источникам, не было. Хотя, древнерусские зодчие и землемеры имели о них представление.

Меры площади нужны были для определения размеров земельных участков. Участки же не всегда были четко разграничены, соприкасались друг с другом, имели межевые знаки.

В древней Руси в целях податного обложения использовали чисто условные единицы, характеризовавшие рабочую силу или сельскохозяйственный инвентарь, а также меры, в основе которых лежали трудовые возможности. Отсюда такие наименования земледельных мер (единиц обложения), как «дом» (семья) или «дым», «рало», «соха», «обжа» и пр. Трудовой характер мер «соха» и «обжа» и их соотношение явствуют из сохранившегося ответа новгородцев на запрос Ивана III в 1478 г.: «Три обжи – соха, а обжа – 1 человек на 1 лошади орет (пашет); а кто на 3 лошадях и сам третий орет, ино то соха».

Несмотря на неопределенность в геометрическом смысле, «посевные» меры оказались более удобными для земледельцев, кроме того, объективнее и точнее определялся размер податного обложения.

Для сенокосных угодий широко применяли «урожайные» меры – копны сена. Копны иногда использовали и в качестве мер посевных площадей.

Все «трудовые», «урожайные» и «посевные» меры заключали в себе элементы субъективизма и произвола, которые проявлялись непосредственно в практике использования этих мер.

Во время феодальной раздробленности Руси как меры площади применялись «дом» (дым), «соха», «обжа». Но они отличались по количеству в зависимости от княжества. Отличия были и в наименованиях мер. В Новгороде, например, в качестве посевной меры применялась «коробья» (площадь, на которую высевали коробью ржи – меру объема).

Площади сенокосных участков оценивали копной (площадь луга, на которой можно накосить копну сена). Эти меры позволяли определить урожайность, а о форме и размерах земельных участков полного представления не давали.

В середине XIII века татары проводили в значительных масштабах описи земельных площадей. В основу описей в качестве единицы измерения было положено отдельное хозяйство («дом» или «дым»).

В памятниках древней письменности с конца XIV века упоминается геометрическая мера земельных площадей – десятина. Первоначально применяли «круглую» десятину – квадрат со стороной, равной десятой доле версты (50 сажен), откуда и происходит название «десятина». С середины XV века десятину стали употреблять для пахотных земель, а не только для сенокосных угодий. С этого момента можно говорить об использовании в землемерной практике действительно мер в метрологическом смысле слова.

Переход от четверти к десятине оказался затруднительным, т. к. в основе четверти лежало реальное засеваемое зерно, это было понятно всем, кроме того, в писцовых книгах было зафиксировано определение земельных площадей в четвертях.

площади мера доказательство формула

Площадь многоугольника и его свойства

Площадь многоугольника – это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник. Измерение площадей проводится с помощью выбранной единицы измерения аналогично измерению длин отрезков. За единицу измерения площадей принимают квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков. Квадратным сантиметром обозначается см². Аналогично определяется квадратный метр (м²), квадратный миллиметр (мм²) и т.д.

При выбранной единице измерения площадей площадь каждого многоугольника выражается положительным числом. Это число показывает, сколько раз единица измерения и ее части укладываются в данном многоугольнике.

Обычно измеряют лишь некоторые связанные с многоугольником отрезки, а затем вычисляют площадь по определенным формулам.

Вывод этих формул основан на свойствах площадей, которые мы сейчас и рассмотрим.

Прежде всего отметим, что если два многоугольника равны, то единица измерения площадей и ее части укладываются в таких многоугольниках одинаковое число раз, т.е. имеет место следующее свойство:

1. Равные многоугольники имеют равные площади

Далее, пусть многоугольник составлен из нескольких многоугольников так, что внутренние области любых двух из этих многоугольников не имеют общих точек. Очевидно, величина части плоскости, занимаемой всем многоугольником, является суммой величин тех частей плоскости, которые занимают составляющие его многоугольники. Итак:

2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников

Свойства 1⁰ и 2⁰ называют основными свойствами площадей. Аналогичными свойствами обладают и длины отрезков.

Наряду с этими свойствами нам понадобится еще одно свойство площадей.

3. Площадь квадрата равна квадрату его стороны

Краткую формулировку этого свойства следует понимать так: если сторона квадрата при выбранной единице измерения отрезков выражается числом а, то площадь этого квадрата выражается числом а².

Площадь квадрата

Докажем, что площадь S квадрата со стороной а равна а².

Начнем с того, что а =

, где n – целое число. Возьмем квадрат со стороной 1 и разобьем его на n² равных квадратов так, как показано на рисунке а) (на рисунке n=5).

рис. а)

a=

Так как площадь большого квадрата равна 1, то площадь каждого маленького квадрата равна ^. Сторона каждого маленького квадрата равна , т.е. равна а. Итак,

S=

= (формула 1)

Пусть теперь число а представляет собой конечную десятичную дробь, содержащую n знаков после запятой (В частности, число а может быть целым, и тогда n=0). Тогда число m=

целое. Разобьем данный квадрат со стороной а на m² равных квадратов так, как показано на рисунке б) (на рисунке m=7)

рис. б)

При этом каждая сторона данного квадрата разобьется на m равных частей и, значит, сторона любого маленького квадрата равна

По формуле 1 площадь маленького квадрата равна

. Следовательно, площадь S данного квадрата равна

Наконец, пусть число а представляет собой бесконечную десятичную дробь. Рассмотрим число а, получаемое из а отбрасыванием всех десятичных знаков после запятой, начиная с (n+1) – го. Так как число а отличается от а_nне более чем на

, то , откуда

Ясно, что площадь S данного квадрата заключена между площадью квадрата со стороной

и площадью квадрата со стороной (рисунок в)), т.е. между и :

(формула 3)

рис. в)

Будем неограниченно увеличивать число n. Тогда число

будет становиться сколь угодно малым, и, значит, число будет сколь угодно мало отличаться от числа . Поэтому из неравенств (2) и (3) следует, что число S сколь угодно мало отличается от числа . Следовательно, эти числа равны: , что и требовалось доказать.