Сліди і базиси розширеного поля (стр. 2 из 3)

.

Піднесення до квадрата елемента

в нормальному базисі дає

Таким чином, операція піднесення до квадрата (або витягу кореня квадратного) зводиться до циклічного зсуву вправо (або вліво) векторного подання елемента. Це одне з важливих технологічних переваг нормального базису перед поліноміальним. Іншою його перевагою є простота визначення сліду елемента. Дійсно:

.

Отже, слід елемента дорівнює 0 при парній вазі його векторного подання в НБ і 1 – при непарній вазі. Ця властивість радикально спрощує визначення сліду елемента у НБ.

Наприклад: елемент

у нормальному базисі має парну вагу векторного подання. Слід цього елемента дорівнює 0 Дійсно

На наступній лекції ми розглядатимемо окремо т.з. оптимальний нормальний базис, який має значні переваги у швидкості та технологічності обчислень.

Під час обчислення точок з багаторазовими операціями додавання (віднімання) і подвоєння більш продуктивними є групові операції не в афінних координатах, а різного роду проективних координатах. Це дозволяє уникнути обчислення оберненого елемента в полі як самої трудомісткої операції й заощадити тимчасові обчислювальні ресурси.

У стандартних проективних координатах проективна точка

, , відповідає афінній точці Однорідне рівняння кривої після заміни змінних і множення на куб перемінної приймає вигляд

(в афінних координатах рівняння кривої має вигляд

).

Точка на нескінченності

є вже одним з розв’язків даного рівняння. Зворотна точка тут, як і раніше, визначається інверсією знака координати

Подібно тому, як в афінних координатах, сумою точок

і при називається точка , координати якої (позначення надалі опускається для скорочення запису) рівні:

де

Операцію підсумовування однакових точок

називають подвоєнням, а координати точки дорівнюють:

де

Час виконання операції додавання

і подвоєння , де позначає проективне подання точки.

Наступний вид проективних координат - якобіанові координати.

До них можна перейти ізоморфним перетворенням координат, помноживши рівняння

на , при цьому отримаємо:

або

де

Сумою точок

і при є точка , координати якої визначаються як:

де

При подвоєнні точки кривої отримаємо

:

де

.

У даному випадку час виконання складає

і , де позначає якобіаново подання точки.

Замість трьох якобіанових координат точки Чудновський запропонував використовувати п'ять:

Рівняння кривої описується формулою , а сума точок

і

при

визначається як точка , координати Чудновського якої рівні:

Де

При подвоєнні точки кривої одержимо

:

де

.

Час виконання складе

і , де означає подання точки в координатах Чудновського.

Модифіковані якобіанові координати для рівняння

кривої містять чотири координати

Сума точок

і при визначається як точка , модифіковані якобіанові координати якої дорівнюють: