Зачастую при решении нестандартной задачи используется не один эвристический прием, а сразу несколько, причем, может быть, из разных групп. Часто при решении задач наряду используются эвристические приемы группы парадигмы – метод от противного и идентификация геометрических объектов в рамках различных конфигураций. Каждый из затронутых выше эвристических приемов позволяет реализовать определенный набор мыслительных операций (анализ, синтез, обобщение, аналогию и т.п.). Для полноценного умственного развития учащихся при обучении математике целесообразно предусмотреть использование максимального количества различных эвристик.
Урок обобщения и систематизации знаний
Уроки обобщения и систематизации знаний проводятся по окончанию изучения темы или раздела учебного материала. Основное их назначение заключается в усвоении связей и отношений между понятиями, теоремами, в формировании целостного представления у учащихся об изученном материале. Наиболее сложным в подготовке такого урока является организация повторения, выбор средств систематизации и обобщения знаний и умений школьников. Следует иметь в виду, что логика обобщающего повторения содержательнее логики первоначального изучения учебного материала. Она предполагает выделение связей между основным и второстепенным, между блоками главного, а также во второстепенном материале. Среди средств систематизации и обобщения знаний и умений школьников особое место занимают упражнения, выполнение которых основано на актуализации всего комплекса знаний и умений, подлежащих систематизации, упражнения, ориентированные на углубление и расширение знаний, на применение обобщений в различных конкретных ситуациях. К упражнениям такого вида относят упражнения на составление таблиц, схем, на классификацию понятий, на выявление отношений между понятиями, на составление «родословных» понятий и теорем.
Следует иметь в виду, что обобщающие уроки могут заключать не только пройденную тему, но и изучение исходного материала из разных разделов.
В уроке обобщения и систематизации знаний выделяют следующие структурные элементы:
1) сообщение темы, цели, задачи урока и мотивации учебной деятельности школьников;
2) воспроизведение и коррекция опорных знаний;
3) повторение и анализ основных фактов, событий, явлений;
4) повторение, обобщение и систематизация понятий, усвоение соответствующей системы знаний, ведущих идей и основных теорий.
Рассмотрим конкретный пример урока обобщения и систематизации знаний.
Урок на тему «Иррациональные уравнения» (10 класс)
Цель: обобщить и систематизировать способы решения иррациональных уравнений и умения применять их в различных ситуациях.
Основными методами решения иррациональных уравнений являются:
1) метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень, т. е. замена уравнения
уравнением ;2) метод введения новой переменной.
Однако зачастую иррациональные уравнения решаются с помощью рассуждений, основанных на анализе структуры уравнения, путем установления множества допустимых значений неизвестного, извлечения корня
-ной степени из степени с показателем , на основе теорем равносильности. Отметим и то, что иррациональные уравнения могут содержать один, два и больше корней, причем они могут быть одной степени или разных степеней. Проиллюстрируем сказанное конкретными примерами.1. Решите уравнения:
а)
;б)
;в)
.Исследование структуры уравнения а) показывает, что оно не имеет корней, так как
, и потому ; в случае б) имеем при допустимых значениях и . Анализ структуры уравнения в) показывает, что его решением является каждое значение , для которого одновременно и . Этому требованию удовлетворяет .2. Решите уравнения:
а)
;б)
.Подкоренные выражения просты, поэтому целесообразно, прежде всего, выявить множество допустимых значений неизвестного. Легко установить, что область определения уравнения а) – пустое множество, а потому уравнение не имеет решений. В случае б) уравнение может иметь решение при
, т. е. при . Учитывая, что левая часть уравнения имеет смысл при , получаем, что уравнение имеет единственный корень: .3. Решите уравнения:
а)
;б)
.Уравнения а) и б) можно записать соответственно в виде:
а)
;б)
,которые, в свою очередь, равносильны уравнениям:
а)
;б)
.Решим уравнение б), для чего воспользуемся методом интервалов:
1) при
уравнение равносильно уравнению , корнем которого является ;2) если
, то исходное уравнение равносильно уравнению или , которое не имеет решений;3) при
уравнение преобразуется в уравнение , или , откуда .Часто решение иррациональных уравнений основывается на возведении обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Рассмотрим, например, решение уравнения
. Запишем данное уравнение в виде и возведем обе его части в квадрат. Получим , , , .Так как при возведении обеих частей уравнения в одну и ту же степень возможно появление посторонних корней, то обязательна проверка найденных корней. Число
удовлетворяет исходному уравнению, а число нет.