Использование обобщений при обучении математике в средней школе (стр. 7 из 7)
Уравнение
можно решить с применением теорем равносильности. Известно, что уравнение 
равносильно системе 
Заданное уравнение равносильно системе
которая имеет единственное решение
.К решению исходного уравнения можно было бы применить и метод введения новой переменной. Запишем данное уравнение в виде
. Положив 
, получаем 
. Продолжение решения не вызывает трудностей.Рассмотрим еще пример уравнения, содержащего квадратные, кубические и другие корни.
Решите уравнения:
а)
;б)
.Положив в уравнении а)
и 
, приходим к системе уравнений 
и 
, откуда 
, 
; 
, 
; 
, 
.Подставив в одно из равенств значения
или 
, получим 
, 
, 
.Область допустимых значений уравнения б) такова:
. Если 
- корень уравнения, то 
, или 
. Но 
, следовательно, уравнение б) не имеет решений.Систематизация и обобщение указанных способов решения иррациональных уравнений и составляет содержание рассматриваемого урока. Осуществляется она в процессе выполнения следующих упражнений:
1. Назовите, какие из данных уравнений иррациональные:
а)
;б)
;в)
;г)
;д)
;е)
.Иррациональные уравнения, содержащие только квадратные корни.
2. Решите каждое из уравнений:
а)
;б)
.3. Решите уравнения:
а)
;б)
.4. Решите уравнения:
а)
;б)
.5. Дано уравнение
. Почему и где в нижеуказанных в связи с его решением рассуждениях «потерян» корень? 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
. Решений нет.Найдите «потерянный» корень.
6. Дано уравнение
. Прокомментируйте следующие его решения:а)
, 
, 
, 
, 
;б)
, 
, 
.а.
, , , ;б.
, 
, 
, 
.7. Решите уравнения:
а)
;б)
.8. Решите уравнения:
а)
;б)
.Иррациональные уравнения, содержащие квадратные, кубические и другие корни.
9. Решите уравнения:
а)
;б)
.Учитывая сложность темы «Иррациональные уравнения», для обобщающего урока целесообразно планировать сдвоенный урок. Формы выполнения упражнений могут быть различны: выполнение упражнений у доски, комментированное решение, самостоятельная работа и т. д.
Следует отметить, что включение учащихся в деятельность по отысканию обобщений математических фактов играет большую роль в воспитании качеств творческой личности. При этом ученики учатся самостоятельно ставить и решать новые для них задачи, учатся продуктивному умственному труду. Кроме того, такая деятельность способствует лучшему усвоению знаний, обнаружению связей между ними, учит рассматривать определенные факты, закономерности с более общей точки зрения, с позиции общих закономерностей, что чрезвычайно важно при изучении математики.
1. Саранцев Г. И. «Упражнения в обучении математике». – М.: Просвещение, 1995.
2. Саранцев Г. И. «Общая методика преподавания математики» - М.: Просвещение, 1999.
3. Оганесян В. А., Колягин Ю.М., Луканкин Г. Л., Саннинский В. Я. «Методика преподавания математики в средней школе». – М.: Педагогика, 1976.
4. Пойа Д. «Как решать задачу?».
5. Зильберберг Н. И. «Урок математики. Подготовка и проведение». – М.: Просвещение, 1996.
6. Епишева О. Б., Крупич В. И. «Учить школьников учиться математике».
7. Пичурин Л. Ф. «Воспитание учащихся при обучении математике».