1. Использование свойств неопределенного интеграла.
Пример 29.
2. Подведение под знак дифференциала.
Пример 30.
3. Метод замены переменной:
а) замена
где
Пример 31.
б) замена
Пример 32.
Пример 33.
4. Метод интегрирования по частям:
Пример 34.
Пример 35.
Возьмем отдельно интеграл
Вернемся к нашему интегралу:
Определение. Пусть на некотором интервале
Фигура, ограниченная сверху кривой
S – область – криволинейная трапеция.
Разделим интервал точками
Интегральная сумма:
Определение. Определенным интегралом называется предел интегральной суммы.
Свойства определенного интеграла:
1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
2. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов этих функций:
3. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е. при любых a, b, c
4. Если на отрезке
5. Пределы интегрирования можно менять местами, при этом меняется знак интеграла:
6.
7. Интеграл в точке равен 0:
8.
9. (“о среднем”) Пусть y = f(x) – функция, интегрируемая на [a,b]. Тогда
10. Формула Ньютона-Лейбница
где F(x) – первообразная для f(x).
1. Непосредственное интегрирование
Пример 35.
а)
б)
в)
д)
2. Замена переменных под знаком определенного интеграла.
Пример 36.
2. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
Пример 37.
а)
б)
в)
д)
Характеристика | Вид функции | Формула |
площадь криволинейной трапеции | в декартовых координатах | |
площадь криволинейного сектора | в полярных координатах | |
площадь криволинейной трапеции | в параметрической форме | |
длина дугикривой | в декартовых координатах | |
длина дуги кривой | в полярных координатах | |
длина дуги кривой | в параметрической форме | |
объём тела вращения | в декартовых координатах | |
объём тела с заданным поперечным сечением | |
Пример 38. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: