Математический анализ. Практикум (стр. 6 из 12)
Решение: Найдем точки пересечения графиков данных функций. Для этого приравняем функции и решим уравнение
Итак, точки пересечения
и 
.
Площадь фигуры найдем, используя формулу
.В нашем случае
Ответ: площадь равна
(квадратных единиц).Глава 4. Функции нескольких переменных
4.1 Основные понятия
Определение. Если каждой паре независимых друг от друга чисел
из некоторого множества по какому-либо правилу ставится в соответствие одно или несколько значений переменной z, то переменная z называется функцией двух переменных.Определение. Областью определения функции z называется совокупность пар
, при которых функция z существует.Область определения функции двух переменных
представляет собой некоторое множество точек на координатной плоскости Oxy. Координата z называется аппликатой, и тогда сама функция изображается в виде некоторой поверхности в пространстве E3. Например: 
Рис.1
Пример 39. Найти область определения функции.
а)
Выражение, стоящее в правой части имеет смысл только при
. Значит, область определения данной функции есть совокупность всех точек, лежащих внутри и на границе круга радиуса R с центром в начале координат. 
б)
.Область определения данной функции – все точки плоскости
, кроме точек прямых 
, т.е. осей координат.Определение. Линии уровня функции
– это семейство кривых на координатной плоскости , описываемое уравнениями вида 
.Пример 40. Найти линии уровня функции
.Решение. Линии уровня данной функции – это семейство кривых на плоскости
, описываемое уравнением 
, или 
.Последнее уравнение описывает семейство окружностей с центром в точке О1(1, 1) радиуса
. Поверхность вращения (параболоид), описываемая данной функцией, становится «круче» по мере ее удаления от оси, которая задается уравнениями x = 1, y = 1. (Рис. 4)
Рис.4
4.2 Пределы и непрерывность функций нескольких переменных.
1. Пределы.
Определение. Число A называется пределом функции
при стремлении точки 
к точке 
, если для каждого сколь угодно малого числа 
найдется такое число 
, что для любой точки верно условие 
, также верно условие 
. Записывают: 
.Пример 41. Найти пределы:
т.е. предел зависит от
, а, значит, он не существует. 
2. Непрерывность.
Определение. Пусть точка
принадлежит области определения функции . Тогда функция называется непрерывной в точке , если 
(1)причем точка
стремится к точке произвольным образом.Если в какой-либо точке условие (1) не выполняется, то эта точка называется точкой разрыва функции
. Это может быть в следующих случаях:1) Функция
не определена в точке .2) Не существует предел
.3) Этот предел существует, но он не равен
.Пример 42. Определить, является ли данная функция
непрерывной в точке 
, если 
. 
Получили, что
значит, данная функция непрерывна в точке . 
предел зависит от k, т.е. он в данной точке не существует, а значит, функция имеет в этой точке разрыв.
4.3 Производные и дифференциалы функций нескольких переменных
4.3.1 Частные производные первого порядка
Частная производная функции
по аргументу x является обыкновенной производной функции одной переменной x при фиксированном значении переменной y и обозначается: 
Частная производная функции
по аргументу y является обыкновенной производной функции одной переменной y при фиксированном значении переменной x и обозначается: 
Пример 43. Найти частные производные функций.
4.3.2 Частные производные второго порядка
Частные производные второго порядка – это частные производные от частных производных первого порядка. Для функции двух переменных вида
возможны четыре вида частных производных второго порядка: 
Частные производные второго порядка, в которых дифференцирование производится по разным переменным, называют смешанными производными. Смешанные производные второго порядка дважды дифференцируемой функции равны.