Математический анализ. Практикум (стр. 7 из 12)

Пример 44. Найти частные производные второго порядка.

4.3.3 Полный дифференциал и его применение к приближенным вычислениям.

Определение. Дифференциал первого порядка функции двух переменных

находится по формуле

.

Пример 45. Найти полный дифференциал для функции

.

Решение. Найдем частные производные:

тогда

.

При малых приращениях аргументов x и y функция

получает приращение , приблизительно равное dz, т.е. .

Формула для нахождения приближенного значения функции

в точке , если известно ее точное значение в точке :

.

Пример 46. Найти

.

Решение. Пусть

,

.

Тогда используем формулу

.

Получим:

.

Ответ.

.

Пример 47. Вычислить приближенно

.

Решение. Рассмотрим функцию

. Имеем

Ответ.

.

Пример 48. Вычислить приближенно

.

Решение. Рассмотрим функцию

. Получим:

Ответ.

.

4.3.4 Дифференцирование неявной функции

Определение. Функция

называется неявной, если она задается уравнением , не разрешимым относительно z.

Частные производные такой функции находятся по формулам:

Пример 49. Найти частные производные функции z, заданной уравнением

.

Решение.

Определение. Функция

называется неявной, если она задается уравнением , не разрешимым относительно y.

Производная такой функции находится по формуле:

.

Пример 50. Найти производные данных функций.

Глава 5. Классические методы оптимизации

5.1 Локальный экстремум функции нескольких переменных

Определение 1. Функция

имеет максимум в точке , если для всех точек достаточно близких к точке и отличных от нее.

Определение 2. Функция

имеет минимум в точке , если для всех точек достаточно близких к точке и отличных от нее.

Необходимое условие экстремума. Если функция

достигает экстремума в точке , то частные производные от функции обращаются в нуль или не существуют в этой точке.

Точки, в которых частные производные обращаются в нуль или не существуют, называются критическими.

Достаточный признак экстремума. Пусть функция

определена в некоторой окрестности критической точки и имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка

Тогда

1)

имеет локальный максимум в точке , если и ;

2)

имеет локальный минимум в точке , если и ;

3)

не имеет локального экстремума в точке , если ;

Схема исследования на экстремум функции двух переменных.

1. Найти частные производные функции

: и .

2. Решить систему уравнений

, и найти критические точки функции.

3. Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения в критических точках и с помощью достаточного условия сделать вывод о наличии экстремумов.

4. Найти экстремумы функции.

Пример 51. Найти экстремумы функции

.

Решение.

1) Найдем частные производные

.

2) Решим систему уравнений

3)

4) Найдем частные производные второго порядка и их значения в критических точках:

. В точке получим:

значит, в точке

экстремума нет. В точке получим: