Математический анализ. Практикум (стр. 9 из 12)
Бюджетное множество описывается системой неравенств:
. 
Рис. 1
Для случая набора из двух товаров бюджетное множество B(рис. 1) представляет собой треугольник в системе координат
, ограниченный осями координат и прямой 
.6.4 Теория потребительского спроса
В теории потребления полагается, что потребитель всегда стремится максимизировать свою полезность и единственным ограничением для него является ограниченность дохода I, который он может потратить на покупку набора товаров. В общем виде задача потребительского выбора (задача рационального поведения потребителя на рынке) формулируется следующим образом: найти потребительский набор
, который максимизирует его функцию полезности при заданном бюджетном ограничении. Математическая модель этой задачи: 
В случае набора из двух товаров:
Геометрически решение этой задачи – это точка касания границы бюджетного множества G и линии безразличия.
Решение этой задачи сводится к решению системы уравнений:
(1)Решение этой системы
является решением задачи потребительского выбора.Решение задачи потребительского выбора
называется точкой спроса. Эта точка спроса зависит от цен 
и дохода I. Т.е. точка спроса является функцией спроса. В свою очередь функция спроса – это набор n функций, каждая из которых зависит от 
аргумента: 
Эти функции называются функциями спроса соответствующих товаров.
Пример 54. Для набора из двух товаров на рынке, известных ценах на них
и 
и дохода I найти функции спроса, если функция полезности имеет вид 
.Решение. Продифференцируем функцию полезности:
.Подставим полученные выражения в (1) и получим систему уравнений:
В данном случае расход на каждый товар составит половину дохода потребителя, а количество приобретенного товара равно затраченной на него сумме, поделенной на цену товара.
Пример 55. Пусть функция полезности для первого товара
, второго 
,цена первого товара
, цена второго 
. Доход 
. Какое количество товара должен приобрести потребитель, чтобы максимизировать полезность?Решение. Найдем производные функций полезности, подставим в систему (1) и решим ее:
Этот набор товаров является оптимальным для потребителя с точки зрения максимизации полезности.
Задания для домашней контрольной работы
Контрольная работа должна быть выполнена в соответствии с вариантом, выбираемым по последней цифре номера зачетной книжки в отдельной тетради. Каждая задача должна содержать условие, подробное решение и вывод.
1. Введение в математический анализ
Задача 1. Найти область определения функции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Задача 2. Найти пределы функций.
.Задача 3. Найти точки разрыва функции и определить их тип.
1.
2. 
3. 
4.
5. 
6. 
7.
8. 
9. 
10. 
Глава 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Задача 4. Найти производные данных функций.
1. а)
; б) 
в) y = 
;г) y =
x6 + 
+ 
+ 5; д) y = x tg x + ln sin x + e3x;е) y = 2 x - arcsin x.
2. а)
; б) y = 
; в) y = 
; г) y = 
x2 – 
+ 3; д) y = ecos 
; е) y = 
.3. а) y =
lnx; б) y = 
; в) y = ln 
;г) y =
; д) y = 
x7 + 
+ 1; е) y = 2 
.4. а) y =
; б) y = (e5x – 1)6; в) y = 
; г) y = 
; д) y = x8 + + + 5; е) y = 3 x - arcsinx.