Смекни!
smekni.com

Основная теорема алгебры (стр. 2 из 4)

Соответствующая подпоследовательность комплексных чисел имеет сходящиеся последовательности вещественных и мнимых частей и, следовательно, сходятся, и ее предел равен

.

4. Доказательство основной теоремы

Прежде чем приступить к формальному доказательству, наметим его идею. Пусть

-полином, рассматриваемый как функция от комплексной переменной
.Представим себе "график" функции
, считая , что значения
изображаются на горизонтальной плоскости, перпендикулярной к плоскости чертежа, а значения
откладываются вверх в направлении оси
. Мы установим, что
являются непрерывными функциями от
на всей плоскости комплексной переменной. Функция
от комплексной переменной
называется непрерывной в точке
, если достаточно близким к
значениями
соответствует сколь угодно близкие к
значения
.В более точных терминах - для любого
найдется такое
, что
, как только
.

Непрерывность

дает основания представлять себе график
в виде непрерывной поверхности, накрывающей плоскость
, и местами доходящей до этой плоскости. Собственно говоря, нам и нужно доказать, что существует такое значение
, в котором
, и, тем самым,
, т.е. что поверхность
доходит до плоскости
в точке
. Мы докажем, что если дана точка на поверхности
,которая расположена выше плоскости
, то в ее окрестности найдется точка поверхности расположенная ниже данной точки. Тогда останется только доказать, что на поверхности
существует самая низкая точка, скажем, при
. Она не может находиться выше плоскости
, ибо тогда она была бы самой низкой точкой. Следовательно,
и , следовательно
, т.е.
корень полинома
.

Теперь приступим к доказательству основной теоремы, разбив это доказательство на цепочку лемм.

Лемма 1. Дан полином

c нулевым свободным членом.

Тогда для любого

найдется такое
, что
, как только
.

Доказательство: Пусть

. Тогда

Положим


Если

то

что и требовалось доказать.

Лемма 2. Полином есть непрерывная функция во всех точках плоскости комплексной переменной.

Доказательство: Пусть дан полином

и точка
. Расположим полином по степеням

,

Тогда

так что

Правая часть есть полином от

с нулевым свободным членом.

По лемме 1 для любого

найдется такое
, что
как только
что и требовалось доказать.

Лемма 3. Модуль полинома есть непрерывная функция.

Доказательство: Из неравенства

следует, что для данного
то
, которое "обслуживает"
, подходит и для
. Действительно, при
имеем


Лемма 4. (о возрастании модуля полинома). Если

-полином, отличный от константы, то для любого М>0 существует такое R>0, что
M,как только
.

Это означает, что любая горизонтальная плоскость

отрезает от поверхности
конечный кусок, накрывающий часть круга |z|≤R.

Доказательство: Пусть

где

полином от
c нулевым свободным членом.

В силу леммы 1 для

найдется такое
, что при
, будет
. Модуль
может быть сделан сколь угодно большим, именно, при
будет
. Возьмем
Тогда при
будет