Соответствующая подпоследовательность комплексных чисел имеет сходящиеся последовательности вещественных и мнимых частей и, следовательно, сходятся, и ее предел равен
.4. Доказательство основной теоремы
Прежде чем приступить к формальному доказательству, наметим его идею. Пусть
-полином, рассматриваемый как функция от комплексной переменной .Представим себе "график" функции , считая , что значения изображаются на горизонтальной плоскости, перпендикулярной к плоскости чертежа, а значения откладываются вверх в направлении оси . Мы установим, что являются непрерывными функциями от на всей плоскости комплексной переменной. Функция от комплексной переменной называется непрерывной в точке , если достаточно близким к значениями соответствует сколь угодно близкие к значения .В более точных терминах - для любого найдется такое , что , как только .Непрерывность
дает основания представлять себе график в виде непрерывной поверхности, накрывающей плоскость , и местами доходящей до этой плоскости. Собственно говоря, нам и нужно доказать, что существует такое значение , в котором , и, тем самым, , т.е. что поверхность доходит до плоскости в точке . Мы докажем, что если дана точка на поверхности ,которая расположена выше плоскости , то в ее окрестности найдется точка поверхности расположенная ниже данной точки. Тогда останется только доказать, что на поверхности существует самая низкая точка, скажем, при . Она не может находиться выше плоскости , ибо тогда она была бы самой низкой точкой. Следовательно, и , следовательно , т.е. корень полинома .Теперь приступим к доказательству основной теоремы, разбив это доказательство на цепочку лемм.
Лемма 1. Дан полином
c нулевым свободным членом.Тогда для любого
найдется такое , что , как только .Доказательство: Пусть
. ТогдаПоложим
то
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Полином есть непрерывная функция во всех точках плоскости комплексной переменной.
Доказательство: Пусть дан полином
и точка . Расположим полином по степеням ,Тогда
так чтоПравая часть есть полином от
с нулевым свободным членом.По лемме 1 для любого
найдется такое , что как только что и требовалось доказать.Лемма 3. Модуль полинома есть непрерывная функция.
Доказательство: Из неравенства
следует, что для данного то , которое "обслуживает" , подходит и для . Действительно, при имеемЛемма 4. (о возрастании модуля полинома). Если
-полином, отличный от константы, то для любого М>0 существует такое R>0, что M,как только .Это означает, что любая горизонтальная плоскость
отрезает от поверхности конечный кусок, накрывающий часть круга |z|≤R.Доказательство: Пусть
где
полином от c нулевым свободным членом.В силу леммы 1 для
найдется такое , что при , будет . Модуль может быть сделан сколь угодно большим, именно, при будет . Возьмем Тогда при будет