Основная теорема алгебры (стр. 3 из 4)
и 
так что 
Лемма 5. Точная нижняя грань значений
достигается, т.е. существует такое 
, что 
при всех 
.Доказательство: Обозначим точную нижнюю грань
через 
. Возьмем последовательностью 
стремящихся к сверху. Каждая из этих чисел не является нижней гранью значений , ибо -точная нижняя грань. Поэтому найдутся 
такие, что 
. Воспользуемся теперь леммой о возрастании модуля. Для 
найдем такое 
, что при 
будет 
Отсюда следует, что 
при все 
. Последовательностью оказалась ограниченной, и из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность 
. Пусть ее предел равен . Тогда 
в силу непрерывности . Кроме того, 
. Поэтому 
Итак 
, что и требовалось доказать.Лемма 6. (Лемма Даламбера). Пусть
полином отличный от константы, и пусть 
. Тогда найдется такая точка 
, что 
Геометрический смысл этой леммы: если на поверхности
дана точка, находящаяся выше плоскости 
, то на ней найдется другая точка, расположенная ниже первой.Доказательство: Расположим полином
по степеням 
Тогда
Идея доказательства состоит в том, чтобы за счет первого отличного от нуля слагаемого "откусить кусочек" от 
, а влияние дальнейших слагаемых сделать незначительным. Пусть 
– первое отличное от нуля слагаемое после , так что 
(если k>1). Такое слагаемое имеется, так как не константа. Тогда 
++
( 
+…+ 
))==c0 (1+
+ 
).Здесь
= 
есть полином от
с нулевым свободным членом. По лемме 1 для 
= 
найдется такое 
,что | |< , как только | |< . Положим 
= ( 
) и 
. Тогда 
.Выберем
так, что 
. Для этого нужно взять 
. Далее, положим 
, т.е. возьмем 
. При таком выборе будет 
. Теперь положим 
при 
и . Тогда 
и|
|= 
.Лемма доказана.
Заметим, что с тем же успехом мы могли бы взять
при 
так что при k>1 (т.е. в случае, когда 
-корень кратности 
полинома 
)имеется k направлений спуска по поверхности 
. Они разделяются направлениями подъема при 
Действительно, в этих направлениях
и 