Федеральное агентство по образованию Российской Федерации
САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ Н.Г.ЧЕРНЫШЕВСКОГО
Кафедра компьютерной алгебры и теории чисел
Основная теорема алгебры
Курсовая работа
студента 1 курса 121 группы механико-математического факультета
Батура Ирина Сергеевна
Научный руководитель Е.В. КОРОБЧЕНКО, ассистент
Зав. кафедрой В.Н.КУЗНЕЦОВ, д.т.н., профессор
САРАТОВ
2009 год
СОДЕРЖАНИЕ
1. Введение
2. Основные определения, используемые в курсовой работе
3. Элементы теории пределов для комплексных чисел
4. Доказательство основной теоремы
5. Список используемой литературы
1. ВВЕДЕНИЕ
Данная работа посвящена Основной теореме Алгебры, изучению существования корней в поле
. Как предположение эта теорема впервые встречается у немецкого математика Питера Роуте(1617г.). Д’Аламбер первым в 1746г. опубликовал доказательство этой теоремы. Его доказательство основывалось на лемме. Доказательство это было бы совершенно строгим, если бы Д’Аламбер мог доказать, что-то на комплексной плоскости значение модуля многочлена достигает наименьшего значения. Во второй половине 18 века появляются доказательства Эйлера, Лапласа, Лагранжа и других. Во всех этих доказательствах предполагается заранее, что какие-то "идеальные" корни многочлена существуют, а затем доказывается, что, по крайней мере, один из них является комплексным числом. Со времен доказательства теоремы в алгебре было открыто очень много нового, поэтому сегодня "основной" эту теорему назвать уже нельзя: это название теперь является историческим.Целью моей работы является выявления, что поле
комплексных чисел алгебраически замкнуто. Для доказательства Основной теоремы Алгебры я использовала ряд лемм: лемма Даламбера и лемма о достижении точной нижней грани значений.При написании работы мною была использована следующая литература: Д.К.Фадеев "Лекции по алгебре", Л.Д.Кудрявцев "Курс математического анализа". А.Г.Курош "Курс высшей алгебры".
2. Основные определения, используемые в курсовой работе
Множества, удовлетворяющие требованиям:1-операция сложения,2-операция умножения,3-связь операций сложения и умножения, и содержащие хотя бы один элемент, отличный от нуля, называется полями.
Множество комплексных чисел
можно определить как множество упорядоченных пар действительных чисел, , , в котором введены операции сложения и умножения согласно следующему определению:В результате этого определения множество указанных пар превращается в поле, т.е. удовлетворяет условиям 1,2,3. Полученное таким образом поле, называется полем комплексных чисел.
Последовательность комплексных чисел - это функция, определенная на множестве натуральных чисел и имеющая своими значениями комплексные числа.
Последовательность
называется подпоследовательностью , если для любого k существует такое натуральное , что = , причем Б тогда и только тогда, когда .Комплексное число– расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается
. Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма , где x и y— вещественные числа, i— мнимая единица, то есть число, удовлетворяющее уравнению .Вещественное число (действительное число)– любое положительное число, отрицательное число или нуль.
Функция– 1) Зависимая переменная величина; 2) Соответствие
между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой величины x (аргумента или независимой переменной) соответствует определенное значение величины y (зависимой переменной или функции в значении 1).Теорема Больцано-Вейерштрасса: из любой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.
Последовательность называется ограниченной на множестве Е, если существует такая постоянная М>0, что для всех
и всех выполняется неравенстваПоследовательность сходится к функции f равномерно на множестве Е, если для любого
существует такой номер , что если , то для всех выполняется неравенство . Последовательность называется равномерно сходящейся на множестве Е, если существует функция f, к которой она равномерно сходится на Е.3. Элементы теории пределов для комплексных чисел
В моей работе полиномы рассматриваются только над полями
и как функции от комплексной или вещественной переменной, так что моя работа является скорее главой математического анализа, а не алгебры, хотя теорема о существовании корня у любого отличного от константы полинома с комплексными коэффициентами (т.е. установление алгебраической замкнутости поля ) носит название основной теоремы алгебры.Определение: Пусть задана последовательность комплексных чисел
. Число называется ее пределом, если для любого действительного числа существует такой номер , что при выполняется неравенство . В этом случае пишут lim , а=lim , b=lim . Предельное соотношение lim =c равносильно соотношению , ибоmax
Последовательность
такая, что R, при некотором R, называется ограниченной.Для вещественных переменных известная теорема Больцано-Вейерштрасса: из любой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность. То же самое верно и для последовательностей, составленных из комплексных чисел.
Действительно, пусть
ограниченная последовательность, т.е. , тогда , так что есть ограниченная последовательность вещественных чисел. Из нее можно выбрать сходящуюся подпоследовательность . Рассмотрим соответствующую подпоследовательность мнимых частей . Она ограничена, и из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность .