Элементы тензороного исчисления (стр. 2 из 7)
,так как эта линейная форма есть инвариант. Тогда из (1.3) следует
Поскольку немой индекс может быть обозначен любой буквой, то эту систему уравнений можно записать в виде
Если это соотношение справедливо для всех значений переменных
, то должно выполняться равенство 
(2.7)Это преобразование, очевидно, отлично от преобразования, задаваемого формулой (2.6). Объект первого порядка, составляющие которого преобразуются по этому закону, называется ковариантным вектором.
Таким образом, у нас есть два типа тензоров первого порядка, и мы условимся различать их с помощью положения индекса. Если - тензор контравариантен, мы используем верхний индекс, если же он ковариантен, то нижний. Другими словами, верхний индекс обозначает контравариантностъ, а нижний индекс — ковариантность.
Объекты, которые зависят от двух индексов, называются объектами второго порядка. Из того, что индексы бывают верхние и нижние, следует, что объекты второго порядка могут быть трех типов:
(2.8)Легко видеть, что в этом случае каждый объект имеет 9 составляющих.
Аналогично можно получить объекты третьего порядка, которые будут зависеть от трех индексов и могут принадлежать к любому из четырех типов:
(2.9)Здесь каждый объект содержит
или 27 составляющих. Мы можем продолжать это построение и получить объекты любого порядка.Для законченности этой последовательности мы назовем объект а, не имеющий индексов, объектом нулевого порядка.Если этот объект имеет одно и то же значение и в новых переменных
и в старых переменных , то он называется скаляром, или инвариантом. Следовательно, если а есть инвариант, то
, (2.10)где
есть значение данного объекта в новых переменных.Мы взяли число измерений равным трем лишь для определенности. Все, что было сказано выше, применимо также к любому числу измерений, если условиться, что число значений, пробегаемых индексом, равно числу измерений. Например, если число измерений равно четырем, следует считать, что индексы могут пробегать значения от 1 до 4, а не от 1 до 3, как предполагалось выше.
§ 3. Общее определение тензоров
Векторы, ковекторы, линейные операторы, и билинейные формы - примеры тензоров. Они являются геометрическими объектами, которые представляются в числовой форме, после того, как выбран базис в пространстве. Это числовое представление является своим для каждого из них: векторы и ковекторы представляются одномерными массивами, линейные операторы и квадратичные формы - двумерными массивами. Кроме количества индексов, имеет значение также и их расположение. Координаты вектора нумеруются одним верхним индексом, который называется контравариантным индексом. Координаты ковектора нумеруются одним нижним индексом, который называется ковариантным индексом. В матрице билинейной формы мы используем два нижних индекса; поэтому билинейные формы называют дважды-ковариантными тензорами. Линейные операторы - тензоры смешанного типа; их элементы нумеруются одним нижним и одним верхним индексами. Число индексов и их положения определяют правила преобразования, т.е. то как компоненты каждого конкретного тензора ведут себя при смене базиса. В общем случае, любой тензор представляет собой многомерный массив с определенным числом верхних и нижних индексов. Давайте обозначать число этих индексов через r и s. Тогда получится тензор типа (r,s); или иногда используется термин валентность. Тензор типа (r,s), или тензор валентности (r,s) - это r-раз контравариантный и s-раз ковариантный тензор.
Все это была терминология; теперь давайте перейдем к точному определению.
Оно базируется на следующих общих формулах преобразования:
(3.1) 
(3.2)Определение 1. Геометрический объект X, который в каждом базисе представляется (r + s)-мерным массивом
вещественных чисел, удовлетворяющих правилам преобразования (3.1) и (3.2) при смене базиса, называется тензором типа (r,s), или валентности (r,s).Индексы
и 
- свободные индексы. В правой стороне равенства (3.1) они распределены в S-ках и T-шках, каждый имеет только одно вхождение и сохраняет свою позицию при переходе из левой в правую часть равенства, т.е. верхние индексы остаются верхними, а нижние индексы остаются нижними в правой части равенства (3.1).Остальные индексы
и 
- это индексы суммирования, они входят в правую часть (3.1) парами: один раз в качестве верхнего индекса и один раз в качестве нижнего индекса, один раз в S-матрице либо в T-матрице и второй раз среди индексов в компонентах массива 
.При выражении
через каждый верхний индекс обслуживается ровно один раз матрицей прямого перехода S, порождая при этом ровно одно суммирование в формуле (3.1): 
(3.3)Подобным же образом, каждый нижний индекс обслуживается матрицей обратного перехода T и тоже порождает одно суммирование в формуле (1):
(3.4)Формулы (3.3) и (3.4) совпадают с (3.1), они записаны для того, чтобы сделать более понятным то, как записывается формула (3.1). Итак, определение тензоров дано.
§ 4. Скалярное произведение и метрический тензор
Ковекторы, линейные операторы и билинейные формы, те, что мы рассматривали выше, все это были искусственно построенные тензоры. Однако, есть некоторое количество тензоров естественного происхождения. Давайте вспомним, что мы живем в метрическом мире. Мы можем измерять расстояния между точками (следовательно, мы можем измерять длины векторов) и измерять углы между двумя направлениями в пространстве. Поэтому для любых двух векторов x и y мы можем определить их скалярное произведение:
(x,y) = |x||y| cos(φ), (4.1)
где φ - угол между векторами x и y. Это естественное скалярное произведение, порожденное нашей способностью измерять длины или, вернее сказать, тем, что понятие длины дано нам в ощущениях в том мире, где мы живем.
Вспомним следующие свойства естественного скалярного произведения (4.1):
(1) (x+y, z) = (x, z)+(y, z);
(2) (αx, y) = α(x, y);
(3) (x, y+z) = (x, y)+(x, z);
(4) (x, αy) = α(x, y);
(5) (x, y) = (y, x);
(6) (x, x)≥0 и (x, x) = 0 влечетx = 0.
Обратите внимание, что первые четыре свойства скалярного произведения
(4.1) очень похожи на свойства квадратичной формы. Это не случайное совпадение.
Давайте рассмотрим два произвольных вектора x и yвместе с их разложениями в некотором базисе
. Это означает, что мы имеем следующие выражения для них: 
(4.2)Подставим (4.2) в формулу (4.1) и, используя четыре свойства(1)–(4) из шести упомянутых в упражнении, выведем следующую формулу для скалярного произведения векторов x и y:
(4.3)Обозначим
и запишите (4.3) в виде 
(4.4)Рассмотрим другой базис
, обозначим 
и посредством формул преобразования 
и 