Элементы тензороного исчисления (стр. 3 из 7)
докажем, что матрицы
и 
являются компонентами геометрического объекта, подчиняющимися преобразованиям 
и 
при замене базиса. Таким образом мы докажем, что эта матрица Грама
(4.5)задает тензор типа (0,2). Это очень важный тензор; его называют метрическим тензором. Оно описывает не только скалярное произведения в форме (4.4), но и всю геометрию нашего пространства. Свидетельства этого факта приводятся ниже.
Матрица (4.5) симметрична из-за свойства (5). Теперь, сравнивая формулу (4.4) с формулой
и помня о тензорной природе матрицы (4.5), мы приходим к выводу, что скалярное произведение – это симметричная билинейная форма:
(x, y) = g(x,y). (4.6)
Квадратичная форма, соответствующая (4.6), очень проста: f(x) = g(x,x) =
. Обратная матрица для (4.5) обозначается тем же самым символом g, но она имеет два верхних индекса: 
. Это определяет тензор типа (2,0). Такой тензор называется дуальным метрическим тензором.§5. Действия с тензорами
1) Линейные операции.
Так как
-пространство тензоров ранга р - является линейным пространством, то в нем определены действия сложения и умножения на число: 
(5.1)Если тензоры представлены своими компонентами в одном и том же базисе, то линейной комбинации тензоров соответствует та же линейная комбинация их компонент.
2) Тензорное умножение.
В отличие от линейных операций, это действие совершается с произвольными тензорами, не обязательно имеющими одинаковый ранг.
Если X- тензор ранга р, а Y- тензор ранга q, то результатом будет тензор ранга p+q, обозначаемый XY:
(5.2)Тензорное произведение произвольного числа тензоров обладает свойством ассоциативности.
Для того чтобы перейти к другим действиям с тензорами, нам понадобится следующее определение.
Определение. Тензоры, представимые в виде abc…h, называются разложимыми.
Не каждый тензор является разложимым, но любой тензор может быть представлен в виде линейной комбинации разложимых.
3) Перестановка (i,j).
Перестановкой T(i,j) называется линейная функция, действующая из
в (т.е. не меняющая ранг тензора) и состоящая для разложимых тензоров во взаимной перестановке векторов, стоящих на i-м и j-м местах: 
(5.3)Например,
На произвольные тензоры операция перестановки распространяется по линейности, например:
Для тензоров второго ранга возможна только одна перестановка - Т(1,2), обозначаемая просто буквой Т:
Для произвольного тензора второго ранга Xимеем:
Из полученного соотношения для
видно, что матрица компонент тензора в простом базисе является транспонированной матрицей компонент тензора X в том же базисе. Именно поэтому операция перестановки тензоров второго ранга называется еще транспонированием.4) Свертывание (i,j).
Свертыванием
называется линейная функция, действующая из в 
(понижающая ранг тензора на 2) и состоящая для разложимых тензоров в скалярном перемножении вектора, занимающего i-е место, на вектор, занимающий j-е место: 
(5.4)Например,
.На произвольные тензоры операция свертывания переносится по линейности, например:
Для тензоров второго ранга возможно только одно свертывание -
, обозначаемое просто 
: 
Скаляр
называется следом тензора второго ранга X.Если тензор записан в смешанных компонентах, то
(п - размерность пространства Эп). Таким образом, след тензора второго ранга совпадает со следом матрицы его смешанных компонент.
Для матриц ко- или контравариантных компонент предыдущее утверждение, вообще говоря, не верно:
5) Простое умножение.
Простым умножением тензора X ранга р на тензор Y ранга q называется операция, состоящая в свертывании (р,р + 1) тензорного произведения XY и обозначаемая
: 
(5.5)Другими словами, простое умножение сводится к скалярному перемножению последних векторов в разложении тензора X на первые векторы в разложении тензора Y. Для разложимых тензоров:
Для произвольных тензоров:
В результате простого умножения тензора ранга р на тензор ранга qполучается тензор ранга р+q-2. В частности, результатом простого умножения двух тензоров второго ранга будет тензор второго ранга.
6) Косое умножение.
Это действие имеет смысл только для тензоров, построенных на основе трехмерного векторного пространства
. Как уже упоминалось, в определено векторное произведение векторов 
Пусть
Операция косого умножения, обозначаемая 
, приводит к тензору ранга р+q-1 и состоит в векторном перемножении последних векторов в разложении тензора X на первые векторы в разложении тензора Y: 
(5.6)Очевидно, что в случае двух векторов операция косого умножения совпадает с векторным умножением.
Для тензоров второго ранга с использованием векторного умножения строится еще одна операция - векторный инвариант. Это унарная (т.е. имеющая один аргумент) операция, применительно к тензору Tобозначаемая как Тх, определяется для разложимых тензоров следующим образом
,и распространяется на произвольные тензоры по линейности:
7) Полное умножение.
Пусть
, причем р>q.Операцию полного умножения, обозначаемую
, определим сначала для разложимых тензоров следующим образом: при полном умножении (разложимого) тензора X на тензор Y производится скалярное умножение последнего вектора в разложении тензора X на последний вектор в разложении тензора Y, затем скалярное умножение предпоследних векторов в разложениях этих тензоров и т.д., пока не будут исчерпаны все векторы в разложении тензора Y: 
(5.7)Для произвольных тензоров полное умножение производится по правилу "многочлен на многочлен". Результатом полного умножения тензора ранга р на тензор ранга qявляется тензор ранга р -q.
Если X и Y - тензоры одинакового ранга, то полное умножение
совпадает с введенным ранее скалярным произведением в пространстве 
.