Элементы тензороного исчисления (стр. 6 из 7)

Умножая это уравнение на

, суммируя по всем частицам и сравнивая с уравнением (8.9), мы видим, что , например, равно

Это и есть та формула для момента инерции тела относительно оси х. Ну а поскольку

, то эту же формулу можно написать в виде

Выписав остальные члены тензора инерции, получим

(8.11)

Его можно записать в «тензорных обозначениях»:

(8.12)

где через

обозначены компоненты (х, у, z) вектора положения частицы, а ∑ означает суммирование по всем частицам. Таким образом, момент инерции есть тензор второго ранга, элементы которого определяются свойствами тела и который связывает момент количества движения L с угловой скоростью ω:

(8.13)

Для любого тела независимо от его формы можно найти эллипсоид энергии, а следовательно, и три главные оси. Относительно этих осей тензор будет диагональным, так что для любого объекта всегда есть три ортогональные оси, для которых момент количества движения и угловая скорость параллельны друг другу. Они называются главными осями инерции.

Пример3 (Тензор напряжений)

Рассмотрим тело из какого-то упругого материала, например брусок из желе. Если мы разрежем этот брусок, то материал на каждой стороне разреза будет, вообще говоря, претерпевать перемещение под действием внутренних сил. До того как был сделан разрез, между двумя этими частями должны были действовать силы, которые удерживали обе части в едином куске; мы можем выразить напряжение через эти силы. Представим, что мы смотрим на воображаемую плоскость, перпендикулярную оси х, подобную плоскости σ на (рис.1), и интересуемся силами, действующими на маленькой площадке ΔyΔz, расположенной в этой плоскости. Материал, находящийся слева от площадки, действует на материал с правой стороны с силой

(рис. 1, б).

рис.1

Есть, конечно, и обратная реакция, т.е. на материал слева от поверхности действует сила -

. Если площадка достаточно мала, то мы ожидаем, что сила пропорциональна площади ΔyΔz.

Мы уже знакомы с одним видом напряжений — статическим давлением жидкости. Там сила была равна давлению, умноженному на площадь, и направлена под прямым углом к элементу поверхности. Для твердого тела, а также движущейся вязкой жидкости сила не обязательно перпендикулярна поверхности: помимо давления (положительного или отрицательного), появляется еще и сдвигающая сила. (Под «сдвигающей» силой мы подразумеваем тангенциальные компоненты сил, действующих на поверхности.) Для этого нужно учитывать все три компоненты силы. Заметим еще, что если разрез мы сделаем по плоскости с какой-то другой ориентацией, то действующие на ней силы тоже будут другими. Полное описание внутренних напряжений требует применения тензоров.

рис.2

Определим тензор напряжений следующим образом. Вообразим сначала разрез, перпендикулярный оси х, и разложите силу

действующую на разрезе, на ее компоненты: , , (рис.2). Отношение этих сил к площади ΔyΔz мы назовем . Например:

Первый индекс у относится к направлению компоненты силы, а второй х - к направлению нормали к плоскости. Если угодно, площадь ΔyΔz можно записать как

, имея в виду элемент площади, перпендикулярный оси х, т. е.

А теперь представьте себе разрез, перпендикулярный оси у. Пусть на маленькую площадку ΔxΔz действует сила

. Разлагая снова эту силу на три компоненты, мы определяем три компоненты напряжения как силы, действующие на единичную площадь в этих трех направлениях. Наконец, проведем воображаемый разрез, перпендикулярный оси z, и определим три компоненты . Таким образом, получается девять чисел:

(8.14)

Покажем, что этих девяти величин достаточно, чтобы полностью описать внутреннее напряженное состояние, и что

- действительно тензор. Предположим, что мы хотим знать силу, действующую на поверхность, наклоненную под некоторым произвольным углом. Можно ли найти ее, исходя из ? Можно, и это делается следующим образом. Вообразим маленькую призму, одна грань N которой наклонна, а другие — параллельны осям координат. Если окажется, что грань N параллельна оси z, то получается картина, изображенная на рис.3. (Это, конечно, частный случай, но он достаточно хорошо иллюстрирует общий метод.) Дальше, напряжения, действующие на эту призмочку, должны быть такими, чтобы она находилась в равновесии (по крайней мере, в пределе бесконечно малого размера), так что действующая на нее полная сила должна быть равна нулю. Силы, действующие на грани, параллельные осям координат, известны нам непосредственно из тензора . А их векторная сумма должна равняться силе, действующей на грань N, так что эту силу можно выразить через .

рис.3

Наше допущение, что поверхностные силы, действующие на малый объем, находятся в равновесии, предполагает отсутствие объемных сил, подобных силе тяжести или псевдосилам, которые тоже могут присутствовать, если наша система координат не инерциальна. Заметим, однако, что такие объемные силы будут пропорциональны объему призмочки и поэтому пропорциональны Δx, Δy, Δz, тогда как поверхностные силы пропорциональны ΔxΔy, ΔyΔz и т. п. Итак, если размер призмочки взять достаточно малым, то объемные силы будут пренебрежимо малы по сравнению с поверхностными.

А теперь сложим силы, действующие на нашу призмочку. Возьмемся сначала за x-компоненту, которая состоит из пяти частей, по одной от каждой грани. Но если Δz достаточно мало, то силы от треугольных граней (перпендикулярные оси z) будут равны друг другу и противоположны по направлению, поэтому о них можно забыть. На основание призмы действует x-компонента силы, равная

а x-компонента силы, действующей на вертикальную прямоугольную грань, равна

Сумма этих двух сил должна быть равна x-компоненте силы, действующей извне на грань N. Обозначим через n единичный вектор нормали к грани N, а через

- действующую на нее силу, тогда получим

Составляющая напряжения по оси х (

), действующего в этой плоскости, равна силе , деленной на площадь, т. е. , или

Но, как видно из рис.3, отношение

— это косинус угла θ между n и осью у и может быть записан как , т. е. y-компонента вектора n. Аналогично, равно sinθ= . Поэтому мы можем написать