Элементы тензороного исчисления (стр. 1 из 7)
Содержание
Введение
§1. Линейные преобразования
§2. Индексные обозначения
§3. Общее определение тензоров
§4. Скалярное произведение и метрический тензор
§5. Действия с тензорами
§6. Поднятие и опускание индексов
§7. Тензоры в криволинейных координатах
§8. Примеры вычислений
Заключение
Литература
Введение
Возникновение тензорного исчисления было подготовлено в 19 веке развитием теории алгебраических форм, с одной стороны, и теории квадратичных дифференциальных форм - с другой. Исследования в области теории дифференциальных квадратичных форм были непосредственно связаны с дифференциальной геометрией: с геометрией поверхностей (К. Гаусс) и с геометрией многомерного метрического пространства (Б. Риман). Современную форму тензорному исчислению придал итальянский математик Г. Риччи-Курбастро, поэтому тензорное исчисление иногда называется исчислением Риччи. Идеи Риччи-Курбастро первоначально не получили широкого распространения. Внимание к ним возросло после появления (1915-16) общей теории относительности А. Эйнштейна, математическая часть которой целиком основана на тензорном исчислении.
Тензор (от лат. tensus - напряжённый, натянутый), математический термин, появившийся в середине 19 века и с тех пор применяющийся в двух различных смыслах. Наибольшее распространение термин «тензор» получил в современном тензорном исчислении, где это название присваивается особого рода величинам, преобразующимся по особому закону. В механике, особенно в теории упругости, термин «тензор» широко применяется как синоним симметрического аффинора, то есть линейного оператора F, преобразующего вектор х в вектор Fх, и симметрического в том смысле, что скалярное произведение уFх не меняется при перестановке векторов х и у. Здесь термин был первоначально связан с малыми растяжениями (и сжатиями), возникающими при упругой деформации (откуда и название «тензор»), а затем перенесён в другие области механики. Так появились тензор деформации, тензор напряжения, тензор инерции и др.
§1. Линейные преобразования
Пусть переменные
преобразуются в новые 
с помощью линейного преобразования 
где
- константы (все индексы пробегают значения 1, 2, 3..., n независимо друг от друга.). Применяя условие о суммировании, можем записать эту систему уравнений в виде 
(1.1)Мы предполагаем, что определитель преобразования
не равен нулю. Пусть 
является алгебраическим дополнением элемента в определителе cделенным на величину 
( - обратная матрица). Тогда 
(1.2)и мы можем разрешить систему уравнений (1.1) относительно x
(1.3)Это показывает, что данное преобразование обратимо.
Кроме того, если
мы имеем
т. е. тождественное преобразование.
Если перейти сначала от переменных
к 
по (1.1), а затем от переменных к 
при помощи преобразования 
то мы видим, что переход от первоначальных переменных
к определяется формулой 
где
Это преобразование, следовательно, также линейное.
Говорят, что совокупность преобразований образует группу, когда она удовлетворяет следующим условиям: 1) если преобразования от
к и от к принадлежат данной совокупности, то преобразование от к также принадлежат к ней; 2) совокупность преобразования содержит тождественное и обратное преобразования.Таким образом, совокупность линейных преобразований образует группу.
§ 2. Индексные обозначения
Если нам дана совокупность трех независимых переменных, то они могут быть обозначены тремя различными буквами, например x,y,z,но мы считаем более удобным обозначать переменные данной совокупности одной и той же буквой, различая их посредством индексов. Таким образом, мы можем записать три переменные в виде
, или в более компактной форме: 
(2.1)Здесь мы написали индекс внизу, но в равной мере мы могли бы использовать вместо этого верхний значок, так что переменные были бы записаны в виде
или 
(2.2)Однородная линейная функция переменных обычно записывается в виде
(2.3)где
- константы. Таким образом, коэффициенты линейной формы могут быть записаны в виде 
Объекты, которые, подобно
и 
, зависят только от одного индекса, называются объектами первого порядка, а отдельные буквы с индексами и называются элементами или составляющими объекта. Объекты первого порядка, имеющие три составляющие, назовем трехмерными. Имеются два типа объектов первого порядка, а именно те, у которых индекс вверху, и те, у которых индекс внизу; следовательно, все объекты первого порядка принадлежат к одному из двух типов 
(2.4)С другой стороны, однородная квадратичная функция трех переменных имеет вид
(2.5)где атп- константы. Мы видим, что коэффициенты квадратичной формы зависят от двух индексов и записываются так:
Составляющие этого объекта преобразуются следующим образом:
Следовательно, эта формула дает один из способов, с помощью которого может быть преобразован объект первого порядка. Любой объект, составляющие которого преобразуются по этому закону, называется контравариантным вектором. Таким образом, есть контравариантный вектор, если при линейном преобразовании переменных (1.1) его преобразованные составляющие определяются формулами
(2.6)Имеется и другой способ преобразования элементов объекта первого порядка. Мы уже видели, что коэффициенты линейной формы переменных xтакже образуют объект первого порядка. Таким образом, коэффициенты линейной формы
являются составляющими объекта . Предположим, что составляющие преобразуются таким образом, что линейная форма остается инвариантной относительно преобразования переменных (1.1). Если мы обозначим через 
новые составляющие объекта (после преобразования), то получим