Непрерывность функции на интервале и на отрезке (стр. 3 из 4)

Рис.3.22. Наименьший аргумент, при котором функция принимает заданное значение

Доказательство. Поскольку

- ограниченное множество (это часть отрезка ), то оно имеет точную нижнюю грань . Тогда существует невозрастающая последовательность , , такая что при . При этом , по определению множества . Поэтому, переходя к пределу, получаем, с одной стороны,

а с другой стороны, вследствие непрерывности функции

,

Значит,

, так что точка принадлежит множеству и .

В случае, когда множество

задано неравенством , мы имеем при всех и по теореме о переходе к пределу в неравенстве получаем

откуда

, что означает, что и . Точно так же в случае неравенства переход к пределу в неравенстве даёт

откуда

, и .

Теорема 3.8 (об ограниченности непрерывной функции) Пусть функция

непрерывна на отрезке . Тогда ограничена на , то есть существует такая постоянная , что при всех .

Рис.3.23. Непрерывная на отрезке функция ограничена

Доказательство. Предположим обратное: пусть

не ограничена, например, сверху. Тогда все множества , , , не пусты. По предыдущей лемме в каждом из этих множеств имеется наименьшее значение , . Покажем, что

Действительно,

. Если какая-либо точка из , например , лежит между и , то

то есть

- промежуточное значение между и . Значит, по теореме о промежуточном значении непрерывной функции, существует точка , такая что , и . Но , вопреки предположению о том, что - наименьшее значение из множества . Отсюда следует, что при всех .

Точно так же далее доказывается, что

при всех , при всех , ит.д. Итак, - возрастающая последовательность, ограниченная сверху числом . Поэтому существует . Из непрерывности функции следует, что существует , но при , так что предела не существует. Полученное противоречие доказывает, что функция ограничена сверху.

Аналогично доказывается, что

ограничена снизу, откуда следует утверждение теоремы.

Очевидно, что ослабить условия теоремы нельзя: если функция не является непрерывной, то она не обязана быть ограниченной на отрезке (приведём в качестве примера функцию

на отрезке

. Эта функция не ограничена на отрезке, так как при имеет точку разрыва второго рода, такую что при . Также нельзя заменить в условии теоремы отрезок интервалом или полуинтервалом: в качестве примера рассмотрим ту же функцию на полуинтервале . Функция непрерывна на этом полуинтервале, но неограничена, вследствие того что при .