4.3. Дан куб 6х6х6. Найти максимально возможное число параллелепипедов 4х1х1 (со сторонами параллельными сторонам куба), которые можно поместить в этот куб без пересечений.
Идея решения.
Легко поместить 52 параллелепипеда внутрь куба. Докажем, что нельзя больше. Разобьем куб на 27 кубиков 2х2х2. Раскрасим их в шахматном порядке. При этом образуется 104 клетки одного цвета (белого) и 112 - другого (черного). Осталось заметить, что каждый параллелепипед содержит две черных и две белых клетки.
Ответ: 52.
4.4. Прямая раскрашена в 2 цвета. Докажите, что найдутся 3 точки А, В, С одного цвета такие, что AB = ВС.
4.5. Раскрасьте прямую в 3 цвета так, чтобы нельзя было найти трех точек А, В, С разного цвета таких, что AB = ВС.
5. Плоскость раскрашена а) в 2 цвета, б) в 3 цвета. Докажите, что найдутся 2 точки одного цвета, расстояние между которыми равно 1
Идею, вынесенную в заглавие, хорошо иллюстрирует следующая задача. 4.6. Имеется квадрат 8Х8, у которого удалены две угловые клетки, расположенные на одной диагонали. Можно ли этот квадрат замостить костяшками домино размерами 1Х2? Решение дает нам правильная «шахматная» раскраска этой доски. Каждая костяшка домино закрывает две клетки разного цвета, в то время как клеток черного и белого цветов различное количество.
А вот еще две задачи на эту идею.
4.7. Участок прямоугольной формы разбит на квадраты, образующие n рядов по m квадратов в каждом ряду. Каждый квадрат является отдельным участком, соединенным калитками со всеми соседними участками. При каких m и n можно обойти все квадратные участки, побывав в каждом по одному разу, и вернуться в первоначальный?
Решение.
Раскрасим квадраты в шахматном порядке. При каждом переходе меняется цвет квадрата. Поэтому, если такой маршрут возможен, то число шагов должно быть четным, т. е. m или n четно. Осталось проверить, что в этом случае искомый маршрут возможен.
4.8. Все мы в детстве играли в «морской бой». Напомним, что играется он на квадрате 10Х10, на клетчатой бумаге. «Линкором» в этой игре называется «корабль» 1х4. В связи с этим возникает вопрос: можно ли весь квадрат для морского боя разрезать на 25 линкоров? А кстати, ответьте еще на один вопрос: какое наименьшее число «выстрелов» надо сделать, чтобы наверняка хотя бы один раз попасть в линкор, одиноко плавающий по морю?
Решение.
Раскрасим клетки в 4 цвета, как на рис. 36. Каждый «линкор» закрывает четыре клетки разного цвета. Но клеток цвета 2 всего 26, а «линкоров» должно быть 25.
Эта же раскраска помогает ответить и на второй вопрос. Наименьшее число выстрелов равно числу клеток цвета 4, т. е. 24.
5. Задачи с целыми числами. Четные и нечетные числа
Обычно четные и нечетные числа связывают только с натуральными числами. Здесь мы распространим их на любые целые числа. Целое число называется четным, если оно делится на 2, и нечетным, если оно на 2 не делится.
Любое четное число можно представить в виде 2а, а любое нечетное – в виде 2а + 1, где а – целое число.
Два целых числа называются числами одинаковой четности, если оба они четные или оба нечетные. Два целых числа называются числами разнойчетности, если одно из них четное, а другое нечетное.
Рассмотрим свойства четных и нечетных чисел важные, для решения задач.
1) Если хотя бы один множитель произведения двух (или нескольких) чисел четен, то и все произведение четно.
2) Если каждый множитель произведения двух ( или нескольких ) чисел нечетен, то и все произведение нечетно.
3) Сумма любого количества четных чисел есть число четное.
4) Сумма четного и нечетного чисел есть число нечетное.
5) Сумма четного количества нечетных чисел есть число четное; сумма нечетного количества нечетных чисел есть число нечетное.
Задачи
5.1. В пятиэтажном доме с четырьмя подъездами подсчитали число жителей на каждом этаже и, кроме того, в каждом подъезде. Могут ли все полученные 9 чисел быть нечетными?
Решение.
Обозначим число жителей на этажах соответственно через а1, а2, а3, а4, а5, а число жителей в подъездах – соответственно через b1, b2, b3, b4. Тогда общее число жителей дома можно подсчитать двумя способами – по этажам и по подъездам:
a1 + а2 + а3 + а4 + а5 = b1 + b2 + b3 + b4.
Если бы все эти 9 чисел были нечетными, то сумма в левой части записанного равенства была бы нечетной, а сумма в правой части – четной. Следовательно, это невозможно.
Ответ: не могут.
5.2. В футбольном турнире в один круг участвуют 15 команд. Докажите, что в любой момент турнира найдется команда, которая сыграла к этому моменту четное число матчей (может быть, ни одного ).
Решение.
Обозначим число матчей, проведенных первой, второй, третьей и т. д. командами, через а1, а2, а3,…, а15.
Допустим, что все эти 15 чисел нечетны. Подсчитаем общее число матчей, проведенных командами. Оно равно
( а1 + а2 +…+ а15)/2.
Но числитель дроби есть число нечетное, как сумма нечетного числа нечетных слагаемых. Тогда общее число матчей есть число дробное. Получили противоречие.
Утверждение задачи есть частный случай одной из теорем теории графов.
5.3. Четно или нечетно произведение
( 7а + b – 2c +1 )( 3a – 5b + 4c + 10 ),
где числа a, b, c – целые?
Решение.
Можно перебирать случаи, связанные с четностью или нечетностью чисел а, b, c(8 случаев!), но проще поступить иначе. Сложим множители:
( 7a + b – 2c + 1 ) + ( 3a – 5b + 4c + 10) =
= 10a – 4b + 2c + 11.
Так как полученная сумма нечетна, то один из множителей данного произведения четен, а другой нечетен. Следовательно, само произведение четно.
Ответ: четно.
5.4. Пусть а1, а2, а3,…, а25 – целые числа, а с1, с2, с3,…, с25 – те же самые числа, взятые в другом порядке. Докажите, что число
(а1 – с1)(а2 – с2)(а3 – с3) … (а25 – с25)
является четным.
5.5. Четно или нечетно число
1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 +…+ 993 ?
Решение.
Разность 1 – 2 имеет ту же четность, что и сумма 1 + 2, разность 3 – 4 – ту же четность, что и сумма 3 + 4, и т. д. Поэтому данная сумма имеет ту же четность, что и сумма
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +…+ 993.
Из 993 слагаемых последней суммы 496 четных и 497 нечетных, следовательно, сумма нечетно.
О т в е т: нечетно.
5.6. На прямой расположено несколько точек. Затем между каждыми двумя соседними точками поставили еще по точке. И т. д. Докажите, что после каждой такой операции общее число точек будет нечетным.
Указание.
Если имеется п точек и к ним добавляется еще п – 1 промежуточных точек, то общее число точек становится нечетным, так как п+(п–1) = =2п – 1.
5.7. Найдите все целые значения а, при которых число
x 3 + ax2 + 5x + 9
нечетно для всех целых значений х.
5.8. На семи карточках написали числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Затем карточки перевернули, перемешали и на обратных сторонах написали те же числа. Числа, написанные на обеих сторонах каждой карточки, сложили и полученные суммы перемножили. Четно или нечетно полученное произведение?
Решение.
Допустим, что произведение нечетно. Для этого все 7 множителей должны быть нечетными. Но тогда у четырех карточек, у которых на одной стороне написаны нечетные числа 1, 3, 5, 7, на другой стороне должны быть числа четные. Однако четных чисел здесь - только три. Следовательно, этот случай невозможен.
Ответ: четно.
5.9. Докажите, что в любой компании число тех людей, которые знакомы с нечетным числом членов компании, четно.
Решение.
Обозначим число людей, которые имеют в компании нечетное число знакомых, через k, а число знакомых этих людей соответственно через a1, a2,…, ak . Кроме того, число людей, знакомых с четным числом членов компании, обозначим через n, а число знакомых этих людей соответственно через b1,b2,…,bn. Тогда общее число знакомств равно
( a1 + a2 +…+ ak + b1 + b2 +…+ bn)/ 2
Сумма b1 + b2 +…+ bnчетна, так как все ее слагаемые четны.
Тогда для того, чтобы эта дробь была равна целому числу, сумма
a1 + a2 +…+ ak, должна быть четной. Но все слагаемые последней суммы нечетны, поэтому число k слагаемых суммы может быть только четным.
5.10. Докажите, что не существует многогранника, у которого 1997 граней – треугольники, а остальные грани – четырехугольники и шестиугольники.
5.11. Окружность разделили на 40 равных дуг и в 40 точках деления поставили по шашке. Среди шашек 25 белых и 15 черных. Докажите, что среди шашек найдутся белая и черная, которые стоят на концах одного диаметра.
Решение.
Допустим, что это не верно. Рассмотрим любую белую шашку и диаметр, на котором она стоит. Тогда по нашему допущению на другом конце этого диаметра должна стоять тоже белая шашка. Получается, что всего белых шашек ( как и черных ) четное число. Но последнее противоречит условию задачи.
5.12. Сумма номеров домов одного квартала равна 99, а соседнего квартала той же улицы – 117. Найдите номера всех домов этих кварталов.
5.13.В некотором натуральном числе произвольно переставили цифры. Докажите, что сумма полученного числа с исходным не может быть равна 999…9 (125 девяток).
Решение.
Обозначим исходное число через а, число, полученное из него после перестановки цифр – через b.
Допустим, что равенство
а + b= 999…9 (125 девяток)
возможно. Тогда при сложении чисел а и b не может быть переноса единицы в следующий разряд. Так как сумма цифр чисел а и bравны, то сумма цифр у числа а + b в два раза больше, чем у числа а, а значит она четна. Но с другой стороны , эта сумма равна 9 125, а следовательно, нечетна. Мы получили противоречие.