Нестандартный анализ (стр. 6 из 7)

Пример 4. Пусть А – пустое множество. Докажем, что *A – пустое множество.

В самом деле, система

хÎА

не имеет действительных решений, поэтому и система хÎ*А не имеет (гипердействительных) решений. Рассмотрев систему хÏА, получаем аналогичным образом, что если А содержит все действительные числа, то *А содержит все гипердействительные числа. Таким образом, гипердействительным аналогом множества R будет множество *R, так что наши обозначения согласованы.

Вдальнейшем, вместо того чтобы говорить о системе S и ее действительных решениях, а также о системе *S и ее гипердействительных решениях, будем говорить о действительных и гипердействительных решениях системы S (говоря о гипердойствительных решениях системы S, мы на самом деле будем иметь в виду гипердействительные решения системы *S).

Пример 5. Если A=BÇC, то *A=*BÇ*C. В самом деле, каждая из систем

хÎB, хÎС, хÏА;

хÎA, хÏB;

хÎA, хÏС.

не имеет действительных, и, следовательно, гипердействительных решений. (Точнее, следовало бы говорить об аналогах этих систем) Отсюда получаем, что *ВÇ*С Ì *A (первая система), *АÌ*С (вторая) и *AÌ*C (третья), откуда вытекает, что *AÌ*BÇ*C.

Наши требования к системе гипердействительных чисел состояли из двух частей. Во-первых, *R должно быть упорядоченным неархимедовым полем, расширяющим R. Во-вторых, должны существовать аналоги для всех действительных функций, удовлетворяющие требованию одновременной разрешимости систем уравнений. Эти требования оказываются избыточными:

тот факт, что гипердействительные аналоги сложения, умножения и т. п. превращают *R в поле, можно вывести из требования одновременной разрешимости систем уравнений.

8. ПОСТРОЕНИЕ СИСТЕМЫ ГИПЕРДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Рассмотрим вопрос о существовании гипердействительных чисел. Точнее этот вопрос следует сформулировать так: можно ли построить расширение множества действительных чисел, для которого выполнялась бы Основная гипотеза. Основная гипотеза требует, чтобы:

(1) имелось некоторое множество R, для которого RÌ*R;

(2) для каждой функции f: Rⁿ®R имелась некоторая функция *f: *Rⁿ®*R являющаяся продолжением исходной;

(3) любая система уравнений и неравенств, гипердействительный аналог который имеет (гипердействительные) решения, имела действительные решения;

(4) *R содержало бесконечно малые элементы, отличные от нуля.

Покажем, каким образом этим требованиям можно удовлетворить. Рассмотрим один из возможных вариантов перехода от Q (множества рациональных чисел) к R (множеству действительных чисел). Рассматриваются всевозможные фундаментальные последовательности рациональных чисел, т. е. такие последовательности, что для любого e > 0 существует отрезок длины e, содержащий все члены последовательности, кроме конечного числа. Две такие последовательности x_n и y_n называют эквивалентными, если x_n–y_n стремится к 0 при п®¥. Это отношение эквивалентности разбивает фундаментальные последовательности на классы, которые и называются действительными числами.

Мы достигнем цели, если от последовательностей перейдем к классам последовательностей, считая, что две последовательности x₀,x₁,x₂,…. и y₀,y₁,y₂,… задают одно и то же гипердействительное число, если x_n=y_n “для большинства натуральных чисел n”.

Для наглядности будем представлять себе, что проводится голосование по вопросу “считать ли последовательности x_n и y_n совпадающими”. В нем голосующими являются натуральные числа, причем число п голосует “за”, если

x_n =y_n , и “против”, если x_n¹y_n. Будем считать последовательности x_nи y_n совпадающими, если большинство натуральных чисел голосуют за это. Нужно объяснить лишь, какова система подсчета голосов, т. е. какие множества натуральных чисел мы считаем “большими” (содержащими “большинство” натуральных чисел), а какие “малыми” (содержащими “меньшинство” натуральных чисел). Перечислим те свойства, которым должна удовлетворять система подсчета голосов, т. с. деление множеств натуральных чисел на большие и малые.

1. Любое множество натуральных чисел является либо большим, либо малым. Ни одно множество не является большим и малым одновременно. (Голосование должно всегда давать ответ.)

2. Множество всех натуральных чисел большое, пустое множество малое. (Предложение, за которое голосуют все, принимается.)

3. Дополнение (до N) любого малого множества является большим, дополнение любого большого множества – малым. (Из двух противоположных законопроектов получает большинство голосов ровно одни.)

4. Любое подмножество малого множества является малым, любое надмножество большого множества – большим. (Утратив часть голосов, отвергнутый законопроект не может стать принятым.)

5. Объединение двух малых множеств является малым, пересечение двух больших множеств является большим. (Если каждая из двух групп голосующих не образует большинства, то они и вместе не образуют большинства (“невозможность коалиции”); если каждая из групп составляет большинство, то голосующие, входящие одновременно в обе группы, уже составляют большинство.)

Эти требования весьма сильны. Чтобы понять это, рассмотрим случай конечного множества голосующих (получающийся заменой N на некоторое конечное множество М). Можно ли тогда удовлетворить этим требованиям? Один способ почти очевиден. Выберем одного из “голосующих” тÎМ и назовем большими все множества, содержащие m, а малыми – все множества, не содержащие т (“диктатура” m). При таком определении легко проверить все свойства 1–5. Оказывается, что этим исчерпываются все возможности удовлетворить требованиям 1–5 для случая конечного множества M. В самом деле, , пусть имеется разбиение всех множеств на большие и малые, удовлетворяющее требованиям 1–5. Рассмотрим тогда все большие множества и выберем из них множество M0, содержащее наименьшее возможное число элементов (среди больших множеств). Множество M0 непусто. Если оно содержит ровно один элемент m, то в силу свойства 4 все множества, содержащие т, будут большими, а в силу свойства 3 все множества, не содержащие m, будут малыми. Осталось показать, что M0 не может содержать более одного элемента. В самом деле, в этом случае его можно было бы разбить на две непустые непересекающиеся части M1 и M2. Эти части должны быть малыми (так как содержат меньше элементов, чем M0), а их объединение M0 является большим, что противоречит требованию 5.

Оказывается, однако, что при счетном числе голосующих возможны системы голосования, удовлетворяющие требованиям 1–5 и не сводящиеся к упомянутому тривиальному случаю. Другими словами, можно так разбить все подмножества натурального ряда на большие и малые, чтобы выполнялись свойства 1–5 и любое одноэлементное множество было малым. Тогда (в силу свойства 5) и любое конечное множество будет малым, а (в силу свойства 3) всякое множество с конечным дополнением (до N) – большим. Таким образом, к требованиям 1–5 можно без противоречия добавить и такое:

6. Всякое конечное множество является малым, всякое множество с конечным

дополнением — большим. (При голосовании мнение конечного числа голосующих несущественно.)

Разбиение всех подмножеств натурального ряда на большие и малые, удовлетворяющее требованиям 1–6, называется нетривиальным ультрафильтром на множестве натуральных чисел.

Покажем теперь, что такое разбиение позволяет построить систему гипердействительных чисел, удовлетворяющую требованиям Основной гипотезы. Итак, пусть фиксировано разбиение, удовлетворяющее требованиям 1–6. Назовем две последовательности x_n и y_nэквивалентными, если множество тех n, при которых x_n =y_n является большим. В силу требования 2 всякая последовательность эквивалентна самой себе.

Мы видим, что введенное отношение рефлексивно, симметрично (это очевидно из определения) и транзитивно и, следовательно, разбивает все последовательности действительных чисел на классы эквивалентности, т. е. такие классы, что любые две последовательности одного класса эквивалентны, а любые две последовательности из разных классов – нет. Эти классы мы и назовем гипердействительными числами. Что еще нам нужно? Нужно, чтобы множество действительных чисел было подмножеством множества гипердействительных. Нужно уметь для каждой функции с действительными аргументами и значениями строить ее гипердействительный аналог. Нужно проверить, что любая система уравнений и неравенств, гипердействительный аналог которой имеет гипердействительные решения, имеет действительные решения. И, наконец, нужно убедиться, что среди гипердействительных чисел (рассматриваемых как упорядоченное поле) существуют бесконечно малые, отличные от нуля.