Общее понятие определённого интеграла, его геометрический и механический смысл (стр. 3 из 3)
5). Если на отрезке [a; b] m ≤ f(x) ≤ M, то
Геометрический смысл определенного интеграла
Понятие определенного интеграла введено таким образом, что в случае, когда функция y = f(x) неотрицательна на отрезке [a; b], где a < b,
численно равен площади S под кривой y = f(x) на [a; b] (рис. 3).
Рис. 3
Действительно, при стремлении
к нулю ломаная (рис. 4) неограниченно приближается к исходной кривой и площадь под ломаной переходит в площадь под кривой. 
Рис. 4
Учитывая сказанное, можно указать значения некоторых интегралов, используя известные планиметрические формулы для площадей плоских фигур. Например,
и т.д.(Первый из интегралов – площадь квадрата со стороной единичной длины; второй – площадь прямоугольного треугольника, оба катета которого единичной длины; третий – площадь четверти круга единичного радиуса).
Механический смысл определенного интеграла
Пусть материальная точка М перемещается под действием силы
, направленной вдоль оси Ох и имеющей переменную величину F = F(x), где х – абсцисса движущейся точки М.Найдем работу А силы
по перемещению точки М вдоль оси Ох из точки х = а в точку х = b (a < b). Для этого отрезок [a; b] точками а = х0, х1, ..., b = хn (х0< х1<...< хn) разобьем на n частичных отрезков [х0; х1], [х1; х2], ..., [хn-1; хn]. Сила, действующая на отрезке [хi-1; хi], меняется от точки к точке. Но если длина отрезка Δхi = хi – хi-1 достаточно мала, то сила на этом отрезке изменяется незначительно. Ее можно приближенно считать постоянной и равной значению функции F = F(x) в произвольно выбранной точке х = ci 
[хi-1; хi]. Поэтому работа, совершенная этой силой на отрезке [хi-1; хi], равна произведению F(ci)∙Δхi. (Как работа постоянной силы F(ci) на участке [хi-1; хi]).Приближенное значение работы А силы
на всем отрезке [a; b] есть 
Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше длина Δхi. Поэтому за точное значение работы А принимается предел суммы при условии, что наибольшая длина λ частичных отрезков стремится к нулю:
.Итак, работа переменной силы
, величина которой есть непрерывная функция F = F(x), действующая на отрезке [a; b], равна определенному интегралу от величины F(x) силы, взятому по отрезу [a; b].В этом состоит механический смысл определенного интеграла.
Аналогично можно показать, что путь S, пройденный точкой за промежуток времени от t = a до t = b, равен определенному интегралу от скорости v(t):
масса т неоднородного стержня на отрезке [a; b] равна определенному интегралу от плотности
γ(х):
Необходимое условие интегрируемости
Теорема. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то она интегрируема на этом отрезке.
Приведем пример нахождения определенного интеграла на основании определения.
Пример 1. Вычислить
Решение. Запишем выражение для интегральной суммы, предполагая, что все отрезки [хi-1; хi] разбиения имеют одинаковую длину Δхi, равную 1/n, где n – число отрезков разбиения, причем для каждого из отрезков [хi-1; хi] разбиения точка ξi совпадает с правым концом этого отрезка, т.е.
ξi = хi =
,где i=1, 2, ..., n. (В силу интегрируемости функции у = х2, выбор такого «специального» способа разбиения отрезка интегрирования на части и точек ξ1, ξ2, ..., ξп на отрезках разбиения не повлияет на искомый предел интегральной суммы). Тогда
Известно, что сумма квадратов чисел натурального ряда равна
Следовательно,
Анализ приведенного примера показывает, что успешное решение поставленной задачи оказалось возможным благодаря тому, что интегральную сумму удалось привести к виду, удобному для нахождения предела. Однако такая возможность существует далеко не всегда, поэтому долгое время задача интегрирования конкретных функций оставалась задачей чрезвычайно сложной. Установление связи между определенным и неопределенным интегралами позволило разработать эффективный метод вычисления определенного интеграла.
Список использованной литературы
1). Баврин И.И. Высшая математика. Учебник для педагогических институтов. Москва: Просвещение, 1993 год, 319 стр.
2). Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридма М.Н. Высшая математика для экономистов. Москва: Юнити, 2000 год, 271 стр.
3). Маркович Э.С. Курс высшей математики с элементами теории вероятностей и математической статистики. Москва: Высшая школа, 1972 год, 480 стр.