Общий курс высшей математики (стр. 1 из 4)

Академия труда и социальных отношений

Курганский филиал

Социально-экономический факультет

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине: «Общий курс высшей математики»

Студент гр. ЗМб 1338

Ст. преподаватель

Курган – 2009

Задание 03

В ромбе ABCD известны координаты вершин А и С и тангенс внутреннего угла С. Найти уравнения диагоналей и сторон, координаты двух других вершин, а также площадь этого ромба, если А(4,2), С(16;18),

. Сделать чертеж.

Решение:

Зная координаты вершин А и С запишем уравнение диагонали АС как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

12(y-2)=16(x-4);

12y-24=16х-64

16х-12у-40=0 /:4

4х-3у-10=0 – уравнение диагонали А С в форме общего уравнения прямой.

Перепишем это уравнение в форме уравнения прямой с угловым коэффициентом:

-3y=-10-4х;

3y=4x-10;

y=

откуда k А С=

Так как в ромбе диагонали взаимно перпендикулярны, то угловой коэффициент диагонали BD будет равен

К_ВD =

Само же уравнение диагонали BD найдем как уравнение прямой, проходящей через заданную точку в направлении, определяемом угловым коэффициентом К_BD.

В качестве «заданной точки» возьмем точку Е пересечения диагоналей ромба, которая лежит на середине отрезка АС, вследствие чего:

Е (10;10)

Итак, уравнение диагонали BD запишем в виде

у – yE= К_ВD(x-xE)

y-10=

(x-10);

y-10=

x+ / 4

4у-40=-3х+30

3х+4у-70=0 – уравнение диагонали BD

Чтобы найти уравнение сторон ромба, надо определить только угловые коэффициенты К_АВ = К_CD и К_ВС = К_AD прямых, на которых эти стороны лежат, ибо точки, через которые эти прямые проходят, известны – это вершины А и С ромба.

Для определения указанных угловых коэффициентов воспользуемся формулой

, позволяющей вычислять тангенс угла φ между двумя заданными прямыми по их угловым коэффициентам К₁ и К₂; при этом угол φ отсчитывается против часовой стрелки от прямой у = К₁х + b₁ до прямой у = К₂х + b₂. Формула оказывается удобной, потому что уравнение диагонали АС уже найдено (и, следовательно, известен ее угловой коэффициент К_АС), а положение сторон ромба относительно этой диагонали однозначно определяется внутренними углами А и С, которые равны между собой и для которых по условию известен их тангенс ( ).

Так диагонали ромба делят его углы пополам, то, положив

из формулы для тангенса двойного угла при найдем tg φ:

Положим z = tgφ; тогда

, тогда

15

2z = 8 (1-z²)

30z=8-8z²

8z²+30z-8=0 /:2

4z²+15z-4=0

D=15²-4

4 (-4)= 225+64=289

z₁=

;

z₂₌

Но т.к. угол в ромбе φ всегда острый корень z₂=-4 отбрасываем и получаем в итоге, что tgφ =

Угол φ является углом между прямыми ВС и АС, с одной стороны, и прямыми АС и CD – с другой (см. чертеж).

Потому в первом случае по формуле

имеем

откуда при

то получим

4(

)=1+ ;

= / 3

16-12 K_BC=3+4K_BC;

16 K_BC=13;

K_BC=

Во втором случае по формуле

имеем = ;

При К_АС =

получим:

;

4(KcD-

)=1+ KcD;

4KcD-

=1+ KcD/ 3;

12KcD-16=3+4KcD;

8KcD =19

KcD=

Так как противоположные стороны ромба параллельны, то тем самым мы определили угловые коэффициенты всех его сторон.

К_CD = K_AB=

;

K_BC = K_AD =

.

Зная теперь эти угловые коэффициенты и координаты вершин А и С, по уже использовавшимся выше формулам найдем уравнения прямых АВ, CD, BC и AD.

Уравнение АВ: у – уA = K_AB (х – хA),

у -2 =

(х-4) / 8;

8у-16=19х-76;

19 х-8 у-60=0.

Уравнение CD: у – у_C= К_CD(х – x_C)

у -18=

( х-16) / 8;

8у -144=19х-304;

19 х-8 у-160=0.

Уравнение ВС: у – у_C= К_BC( х x_C);

у -18=

( х - 16);

у - 18=

х – 13 / 16;

16у -288 = 13х - 208;

13х -16 у +80=0

Уравнение AD: у – уA = КA_D( х -xA);

у -2=

( х -4);

у -2=

х - / 16;

16у -32= 13х-52;

13х-16у-20=0

Вершины ромба являются точками пересечения его соответствующих сторон. Поэтому их координаты найдем путем совместного решения уравнений этих сторон.

19х -8у -60 = 0 /

(-2)

13х -16у +80= 0

-38х+16у+120=0

13х-16у+80=0

-25х = - 200

х = 8

13

8 -16у+80=0

104-16у+80=0

16у=184

у=11,5 т.В (8;11,5)

Для вершины D:

19х -8у +-160 = 0 / (-2)

13x - 16 y – 20 = 0