Производная и ее применение для решения прикладных задач (стр. 2 из 7)

Перечень прикладных задач:

-составление уравнения касательной к графику функции;

-нахождение угла между пересекающимися прямыми, между графиками функций;

-исследование и построение графиков функций;

-решение задач на оптимум;

-преобразование алгебраических выражений;

-разложение многочлена на множители;

-доказательство тождеств;

-вычисление сумм;

-решение уравнений;

-приближенные вычисления и оценка погрешностей;

-доказательство неравенств и тождеств;

-решение систем уравнений;

-решение задач с параметрами;

-отбор кратных корней уравнения;

-сравнение величин;

-определение периода функции;

-нахождение пределов функции с помощью правила Лопиталя;

-разложение функций в ряд с помощью формулы Тейлора;

-приближенное решение уравнений методом проб, хорд и касательных;

-линеаризация алгебраических функций и многое другое.

3. Примеры решения прикладных задач

3.1 Исследование функций и построение их графиков

Пример 1

Исследовать и построить график функции

Решение.

1. Функция существует для всех

.

2. Функция не является ни четной, ни нечетной,

так как

,

то есть

и .

3. В точке х=0 функция имеет разрыв в точке х=0.

При этом

4. Находим производную:

и приравниваем ее к нулю:

. Точка будет критической.

Проверим достаточные условия экстремума в точке

. Так как знаменатель производной всегда положителен, то достаточно проследить за знаком числителя. Получаем: при и при . Следовательно, в точке функция имеет минимум, ее значение в точке .

5. Точек пересечения с осью ОY нет, так как данная функция не определена при х=0. Чтобы найти точки пересечения кривой с осью ОХ, нужно решить уравнение

.

Тогда

или .

Получим, что при

функция убывает; х= y=0; функция убывает; при функция убывает; при х= функция имеет минимум y=3; при функция возрастает.

График данной функции представлен на рисунке.

Кривая, рассмотренная в этой задаче называется «Трезубец Ньютона».

3.2 Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции, решение прикладных задач (задач на оптимум)

Пример 1

Из бревна, имеющего радиус R, сделать балку наибольшей прочности.

Решение:

Составляем функцию, выражающую необходимое условие.

В данной задаче высота балки (представляющей собой прямоугольник, вписанный в окружность радиуса R и ширины х), равна

. Поэтому прочность такой балки равна . При этом х изменяется от 0 до 2R.

Функция

обращается в нуль при х=0 и х=2R и положительна между этими значениями. Значит она имеет максимум, лежащий между 0 и 2R. Но производная этой функции обращается в нуль на отрезке лишь при . Это и есть оптимальное значение ширины b балки. Высота h балки такой ширины равна и отношение равно . Именно такое отношение высоты вытесываемой балки к ее ширине предписывается правилами производства строительных работ.

Пример 2

Требуется построить открытый цилиндрический резервуар вместимостью

. Материал имеет толщину d. Какими должны быть размеры резервуара (радиус основания и высота), чтобы расход материала был наименьшим?

Решение.

Радиус основания внутреннего цилиндра обозначим через х, высоту внутреннего цилиндра через h. Объем дна и стенки резервуара

С другой стороны, по условию

, откуда

Подставляя в (*), находим

Полученную функцию

нужно исследовать на экстремум при х>0:

Единственный положительный корень производной – это точка

Она и дает решение задачи. При этом

3.3 Определение периода функции

Пример 1.

Является ли периодической функция

?

Решение

Воспользуемся следующим утверждением: если дифференцируемая в каждой точке числовой прямой функция имеет период Т, то ее производная также имеет период Т.

Предположим, что данная функция

является периодической с периодом Т. Применяя формулу

,

получаем

где .

Имеем

Поскольку по предположению функция

имеет период Т, то функция , а следовательно, и функция также имеют период Т.

Значит, и функция

Также имеет период Т. Отсюда следует, что существует число

, , такое, что Т= . Аналогично показывается, что существует число , такое, что Т= .

Но тогда

т.е. число

является рациональным, что неверно. Следовательно данная функция НЕ является периодической.

3.4 Нахождение приближенных значений функции

Пример 1.

Найти приращение и дифференциал функции в точке х=2 при

и при . Найдите абсолютную и относительные погрешности, которые мы допускаем при замене приращения функции ее дифференциалом.