Производная и ее применение для решения прикладных задач (стр. 4 из 7)
Доказательство:
Рассмотрим функцию
при 
и 
.При
, 
.Находим
и 
: 
; 
; 
; 
. В точке 
=6, то есть 
имеет минимум, равный 
. При 
функция убывает от 
до 
, а при 
, то есть функция возрастает. При 
, что и доказывает неравенство.3.9 Решение неравенств
Пример 1.
.Решение
Найдем участки возрастания и убывания функции
. Производная 
этой функции равна 
. Так как дискриминант квадратного трехчлена 
является отрицательным числом и коэффициент при 
этого квадратного трехчлена больше нуля, то для каждого действительного х имеем неравенство 
.Таким образом, функция
является непрерывной и возрастающей на всей числовой прямой; поэтому ее график может пересекать ось ОХ только в одной точке. Учитывая, что 
, заключаем, что решениями данного неравенства являются все числа х из промежутка 
.Пример 2.
Докажите неравенство
(при 
).Доказательство.
При х=0 неравенство справедливо.
Рассмотрим функцию
и найдем ее производную: 
Производная обращается в нуль при 
При
то есть функция монотонно убывает. При 
то есть функция монотонно возрастает. При 
функция имеет минимум, равный нулю.Таким образом, при
значит .Пример 3.
Доказать, что при
имеет место неравенство 
Решение.
Найдем участки возрастания и убывания функции
Так как
то 
при 
при 
при 
Функция
непрерывна на 
поэтому она возрастает на отрезке 
и убывает на промежутке 
Отсюда заключаем, что точка 
является точкой локального максимума функции (рис.).Так как
и 
то неравенство доказано.3.10 Доказательство тождеств
Пример 1.
Решение
Рассмотрим функцию
.При х=1 имеем
. Пусть 
; тогда 
и 
Поэтому
следовательно, функция при 
является тождественно равной постоянной. Чтобы найти эту постоянную, вычислим, например, 
; имеем: 
.Таким образом, данное тождество доказано для всех
.3.11. Решение уравнений
Пример 1.
Решение
Переписав данное уравнение в виде
, заметим, что его корнями являются абсциссы точек пересечения или касания графиков функций 
и 
.Для выяснения взаимного расположения графиков этих функций найдем их точки экстремумов.
Так как
, то эта функция достигает своего наименьшего значения, ровно 1, в точке х=1. Область существования функции состоит из всех х таких, что 
. Так как 
то
при 
, 
при 
, 
при .Так как функция
непрерывна на 
, то отсюда заключаем, что функция 
возрастает на промежутке 
и убывает на промежутке 
. Следовательно, точка х=1 является наибольшим значением функции на ее области существования.