Производная и ее применение для решения прикладных задач (стр. 6 из 7)
Получим:
(неопределенность типа 
По правилу Лопиталя
Далее, элементарным путем находим:
3.15 Решение физических задач, связанных с нахождением скорости, ускорения и т.д.
Пример 1.
Дано уравнение прямолинейного движения тела:
, где S- путь, пройденный телом, м; t- время, с. Найдите скорость тела в момент времени t=1 c.Решение.
Скорость это производная пути по времени. Значит:
Подставив значение времени получим:
Пример 2.
Точка движется по закону
. Найти скорость и ускорение через 2 с после начала движения (движение считать прямолинейным).Решение.
Скорость это производная пути по времени. Значит:
.Подставив значение времени получим
Пример 3.
Тело движется прямолинейно по закону
Найти его кинетическую энергию через 5 с после начала движения, если масса тела 3 кг.Решение.
Формула нахождения кинетической энергии:
.Найдем скорость тела.
, 
.Кинетическая энергия тела составит:
.3.16 Решение экономических задач
Пример 1.
Выбрать оптимальный объем производства фирмой, функция прибыли которой может быть смоделирована зависимостью:
π(q) = R(q) - C(q) = q2 - 8q + 10
Решение:
π'(q) = R'(q) - C'(q) = 2q - 8 = 0 → qextr = 4
При q < qextr = 4 → π'(q) < 0 и прибыль убывает
При q > qextr = 4 → π'(q) > 0 и прибыль возрастает
При q = 4 прибыль принимает минимальное значение.
Каким же будет оптимальный объем выпуска для фирмы? Если фирма не может производить за рассматриваемый период больше 8 единиц продукции (p(q = 8) = p(q = 0) = 10), то оптимальным решением будет вообще ничего не производить, а получать доход от сдачи в аренду помещений и / или оборудования. Если же фирма способна производить больше 8 единиц, то оптимальным для фирмы будет выпуск на пределе своих производственных мощностей.
Пример 2.
Кривая спроса задана выражением
, где 
- объем продаж; 
- цена товара в условных единицах. Объем продаж составляет 10 000. Определите, каким должно быть изменение цены товара, чтобы объем продаж возрос на 1%.Решение.
Определим цену
, соответствующую объему продаж 
Для оценки изменения цены товара воспользуемся формулой приближенных вычислений
По условию задачи 
составляет 1% от 10000 или 10000/100=100. Найдем значение 
Тогда
Таким образом, для увеличения объема продаж на 1% цена товара должна быть снижена приблизительно на 0,105 у.е.3.17 Разложение функций в ряд с помощью формулы Тейлора
1) Пусть функция f(x) имеет в точке х = а и некоторой ее окрестности производные порядка до (n+1) включительно.(Т.е. и все предыдущие до порядка n функции и их производные непрерывны и дифференцируемы в этой окрестности).
2) Пусть х- любое значение из этой окрестности, но х а.
Тогда между точками х и а найдется такая точка , что справедлива формула:
- это выражение называется формулой Тейлора, а выражение:
называется остаточным членом в форме Лагранжа.
При
получаем формулу Маклорена: 
где
, 
Пример 1.
Многочлен
разложить по целым положительным степеням бинома х-2.Решение.
Отсюда:
Следовательно,
или 
Пример 2.
Функцию
разложить по степени бинома х+1 до члена, содержащего 
Решение
для всех n, 
Следовательно , 
где 
Пример 3
Разложить функцию
в ряд Маклорена.Решение.
Как известно, этот интеграл нельзя выразить через элементарные функции. Для отыскания разложения данного интеграла в ряд Маклорена необходимо разложить подынтегральную функцию в степенной ряд, а затем почленно проинтегрировать (степенной ряд сходится равномерно на любом отрезке, лежащем внутри промежутка сходимости, поэтому его можно проинтегрировать почленно).
3.18 Задача о линеаризации функции
По всей вероятности, исторически задача стояла так: «Написать уравнение касательной к графику функции
в точке с абсциссой 
». Дело в том, что ученым (в частности вычислителям) надо было в случае довольно «громоздкой» зависимости между переменными заменить в окрестности некоторой точки эту зависимость более простой. А самой простой является линейная зависимость. Поэтому вместо сформулированной выше задачи выдвинулись требования: «Заменить данную функцию линейной функцией в окрестности точки ». Эта идея занимала Тейлора. В случае, если эта замена давала вычислителям большие погрешности, ставилась задача замены данной функции в окрестности точки квадратичной функцией, многочленом третьей степени, четвертой и т.д.- до тех пор, пока не получалась нужная точность вычислений. Эта идея имеет простой геометрический смысл: при замене данной функции линейной в окрестности точки рассматривается касательная 
, при замене квадратичной- соприкасающаяся парабола, при замене многочленом третьей степени- соприкасающаяся кубическая парабола и т.д.Замена данной функции линейной получила название линеаризации. Поскольку не было явно сформулировано понятие предела (это уже IX век), то на основе интуиции бесконечно малые «более высоких порядков» просто отбрасывались.
Пример 1.
Замените данную функцию линейной вблизи нуля:
Решение.
Если
, то 
так же стремятся к нулю, поэтому ими можно пренебречь, то есть отбросить. В результате получаем 
Пример 2.
Замените данную функцию линейной вблизи нуля:
Решение.
Отбрасываем в числителе и знаменателе х в степени выше первой:
