Производная и ее применение для решения прикладных задач (стр. 1 из 7)

Министерство образования и науки Украины

Министерство образования и науки АР Крым

Малая академия наук школьников Крыма «Искатель»

Секция математики

Керченский городской филиал

Производная и ее применение для решения прикладных задач

Работу выполнил:

Коваленко Александр,

учащийся 11-Б класса

керченского учебно-воспитательного

комплекса общеобразовательной

школы

I-II ступеней- морской технический лицей

Научный руководитель:

Герасимова Валентина Леонидовна,

учитель математики,

учитель-методист

КУВК ош – МТЛ

Керчь 2008

Содержание

Введение

1. Производная и ее применение для решения прикладных задач

1.1 Исторические сведения

1.2 Понятие производной, ее геометрический и физический смысл

1.3 Дифференциал

2. Перечень прикладных задач

3. Примеры решения прикладных задач

3.1 Исследование функций и построение их графиков.

3.2 Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции, решение прикладных задач (задач на оптимум).

3.3 Определение периода функции

3.4 Нахождение приближенных значений функции

3.5 Нахождение величины угла между прямыми и кривыми.

3.6 Разложение на множители и упрощение выражений.

3.7 Вычисление суммы

3.8 Сравнение чисел и доказательство неравенств

3.9 Решение неравенств

3.10 Доказательство тождеств

3.11. Решение уравнений

3.12 Решение систем уравнений

3.13 Отбор кратных корней уравнения

3.14 Вычисление пределов функции с помощью правила Лопиталя

3.15 Решение физических задач, связанных с нахождением скорости, ускорения и т.д.

3.16 Решение экономических задач

3.17 Разложение функций в ряд с помощью формулы Тейлора

3.18 Задача о линеаризации функции

Заключение

Список литературы

Введение

Из всех теоретических успехов знания вряд

ли какой-нибудь считается столь высоким три-

умфом человеческого духа, как изобретение ис-

числения бесконечно малых во второй половине

XVII века.

Ф. Энгельс

Тема исследовательской работы выбрана не случайно, поскольку применение производной позволяет более эффективно решать многие задачи повышенной сложности. Применение производной для решения задач требует от учащихся нетрадиционного мышления. Следует отметить, что знание нестандартных методов и приемов решения задач способствует развитию нового, нешаблонного мышления, которое можно успешно применять также и в других сферах человеческой деятельность (вычислительная техника, экономика, физика, химия и т.д.) Это доказывает актуальность данной работы.

Целью работы было: изучение применения производной для решения задач по алгебре и началам анализа, физике, экономике; углубление и расширение знаний по теме «Производная».При изучении изменяющихся величин очень часто возникает вопрос о скорости, о быстроте происходящего изменения. Так мы говорим о скорости движения самолета, поезда, автобуса, ракеты, о скорости падения камня, вращения шкива и т.д. Можно говорить о скорости выполнения определенной работы, о скорости протекания химической реакции, о быстроте роста населения в данном городе. О скорости можно говорить по отношению к любой величине, которая изменяется с течением времени. Для всего этого используется понятие производной.

Физические производные величины:

υ(t) = х^/(t) – скорость

a (t)=υ^/ (t) - ускорение

J(t) = q^/(t) - сила тока

C(t) = Q^/(t) - теплоемкость

d(l)=m^/(l) - линейная плотность

K (t) = l^/(t) - коэффициент линейного расширения

ω (t)= φ^/(t) - угловая скорость

а (t)= ω^/(t) - угловое ускорение

N(t) = A^/(t) - мощность

Дифференциальное исчисление широко применяется для экономического анализа как математический аппарат. В экономике очень часто требуется найти наилучшее или оптимальное значение показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки и т. д. Каждый показатель представляет собой функцию от одного или нескольких аргументов. Таким образом, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума функции.

Производная в экономических формулах:

П (t) = υ^/ (t) - производительность труда,

гдеυ (t) - объем продукции

J(x) = y^/ (x) - предельные издержки производства,

гдеy– издержки производства в зависимости от объема выпускаемой продукцииx.

В работе рассмотрены прикладные задачи, способы решения которых можно использовать для решения нестандартных задач по алгебре и началам анализа, при подготовке к государственной итоговой аттестации, внешнему независимому оцениванию. Достаточно большое число задач раскрывают потенциальные возможности анализа бесконечно малых величин.

1. Производная и ее применение для решения прикладных задач

1.1 Исторические сведения

Ряд задач дифференциального исчисления был решен еще в древности. Они встречались у Евклида. Ряд таких задач был решен Архимедом, разработавшим способ проведения касательной, примененный им к спирали, но применимый для других кривых. Основное понятие дифференциального исчисления – понятие производной – возникло в XVII в. В связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики. Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем на основе двух задач: 1) о разыскании касательной к произвольной линии2) о разыскании скорости при произвольном законе движенияЕще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского математика Тартальи (около 1500 - 1557 гг.) - здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда. В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Л. Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.

1.2 Понятие производной, ее геометрический и физический смысл

Понятие производной

Пусть y = f(x) есть непрерывная функция аргумента x, определенная в промежутке (a; b), и пусть х₀ - произвольная точка этого промежутка

Дадим аргументу x приращение ∆x, тогда функция y = f(x) получит приращение ∆y = f(x + ∆x) - f(x). Предел, к которому стремится отношение ∆y / ∆x при ∆x → 0, называется производной от функции f(x).

y'(x)=

Геометрический смысл производной состоит в том, что она равна угловому коэффициенту касательной. Рассмотрим график функции

(рис.). Видно,

что

, т.е. это отношение равно угловому

коэффициенту секущей mm. Если

, то секущая,

поворачиваясь вокруг точки М, в пределе переходит в

касательную

, так как касательная является предельным

положением секущей, когда точки пересечения сливаются.

Таким образом,

.

Уравнение касательной

, где - координаты точки касания, а - текущие координаты точки касательной прямой.

Физический смысл производной заключается в скорости изменения функции.

Пусть s = s(t) — закон прямолинейного движения. Тогда v(t₀) = s'(t₀) выражает мгновенную скорость движения в момент времени t₀. Вторая производная a(t₀) = s''(t₀) выражает мгновенное ускорение в момент времени t₀.Вообще производная функции y = f(x) в точке x₀ выражает скорость изменения функции в точке x₀, то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью y = f(x).

13 Дифференциал

Пусть дана функция

и - внутренняя точка её области определения. Придадим аргументу приращение и рассмотрим приращение функции

Если это приращение

можно представить в виде

где величина не зависит от приращения , а - бесконечно малая при величина, имеющая больший порядок малости, чем , то произведение называется дифференциалом функции в точке и обозначается .