Простейшие способы обработки опытных данных (стр. 3 из 4)
108*c*lge + 98*lg A=8,8907 ,
1536*c*lge + 108*lg A=93,7548 .
Решение этой системы c = - 0,124 , A = 41,05 .Таким образом, искомая показательная функция имеет вид S = 41,05*e– 0,124*t .
| T | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 |
| S | 25,39 | 19,97 | 15,71 | 12,36 | 9,72 | 7,64 | 6,01 | 4,73 | 3,72 |
Ошибка составляет:
Σ(Δ Si)2 = 9,612 + 0,692 + 1,52 + 1,722 + 1,332 + 0,782 + 0,332 + 0,022 +
+ 0,262 + 0,432 = 10,6719 .
Рассмотрим адиабату AD.
Способом средних подберем функцию вида S = A*tq , отвечающую
таблице 3. Уклонения имеют вид δ`= lgA + q*lgt – lgS.Подставив
конкретные значения S и t, получим:
δ`1 = lg A + 0,3010*q – 1,5441 ,
δ`2 = lg A + 0,6021*q – 1,1377 ,
δ`3 = lg A + 0,7782*q – 0,8998 ,
δ`4 = lg A + 0,9031*q – 0,7316 ,
δ`5 = lg A + 1,0000*q – 0,6010 ,
δ`6 = lg A + 1,0792*q – 0,4942 ,
δ`7 = lg A + 1,1461*q – 0,4031 ,
δ`8 = lg A + 1,2041*q – 0,3243 ,
δ`9 = lg A + 1,2553*q – 0,2553 ,
δ`10 = lg A + 1,3010*q – 0,1931 .
Приравняв нулю сумму уклонений по этим двум группам, получим
систему уравнений для определения параметров А и q:
5*lgA+3,5844*q=4,9142 ,5*lgA+5,9867*q=1,6700 .
Решение этой системы q = -1,35, A = 89,125 .Таким образом, искомая
степенная функция имеет вид S = 89,125*t– 1,35 .
| T | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 |
| S | 34,.96 | 13,72 | 7.94 | 5.38 | 3.98 | 3.11 | 2.53 | 2.11 | 1.8 | 1.56 |
Ошибка составляет:
Σ(Δ Si)2= 0,042 + 0,012 + 0,012 + 0,012 + 0,012 = 0,002.
Способом наименьших квадратов подберем функцию вида
S = A*tq , которая отвечает таблице 3.
Составим вспомогательную таблицу:
| K | xk=lg tk | Xk2 | yk=lg Sk | xk * yk |
| 1 | 0,3010 | 0,0906 | 1,5441 | 0,4648 |
| 2 | 0,6021 | 0,3625 | 1,1377 | 0,6850 |
| 3 | 0,7782 | 0,6056 | 0,8998 | 0,7002 |
| 4 | 0,9031 | 0,8156 | 0,7316 | 0,6607 |
| 5 | 1,0000 | 1,0000 | 0,6010 | 0,6010 |
| 6 | 1,0792 | 1,1647 | 0,4942 | 0,5333 |
| 7 | 1,1461 | 1,3135 | 0,4031 | 0,4620 |
| 8 | 1,2041 | 1,4499 | 0,3243 | 0,3905 |
| 9 | 1,2553 | 1,5758 | 0,2553 | 0,3205 |
| 10 | 1,3010 | 1,6926 | 0,1931 | 0,2512 |
| ∑ | 9,5701 | 10,0708 | 6,5842 | 5,0692 |
Получаем систему уравнений:9,5701*q+10*lgA=6,5842 ,
10,0708*q+9,5701*lgA=5.0692 .
Решение этой системы q = -1,35 , A = 89,32 .Таким образом, искомая
степенная функция имеет вид S = 89,32*t–1,35 .
| T | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 |
| S | 35,02 | 13,75 | 7,95 | 5,39 | 3,99 | 3,12 | 2,53 | 2,12 | 1,8 | 1,57 |
Ошибка составляет:
Σ (Δ Si)2 = 0,042 + 0,022 + 0,012 + 0,012 + 0,012 = 0,0023 .
Способом наименьших квадратов подберем функцию вида
S = A*ect, отвечающую таблице 3.
Составим вспомогательную таблицу:
| K | t | t2 | y=lgSk | t*y |
| 1 | 2 | 4 | 1,5441 | 3,0882 |
| 2 | 4 | 16 | 1,1377 | 4,5508 |
| 3 | 6 | 36 | 0,8998 | 5,3988 |
| 4 | 8 | 64 | 0,7316 | 5,8528 |
| 5 | 10 | 100 | 0,6010 | 6,0100 |
| 6 | 12 | 144 | 0,4942 | 5,9304 |
| 7 | 14 | 196 | 0,4031 | 5,6434 |
| 8 | 16 | 256 | 0,3243 | 5,1888 |
| 9 | 18 | 324 | 0,2553 | 4,5954 |
| 10 | 20 | 400 | 0,1931 | 3,9520 |
| ∑ | 110 | 1540 | 6,5842 | 50,2206 |
Получаем систему уравнений:
110*c*lge + 10*lg A=6,5842 ,1540*c*lge + 110*lg A=50,2206 .
Решение этой системы c = - 0,155 , A = 25,05 .Таким образом, искомая показательная функция имеет вид S = 25,05*e– 0,1550*t .
| T | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 |
| S | 34,16 | 13,67 | 9,88 | 7,24 | 5,31 | 3,90 | 2,86 | 2,09 | 1,54 | 1,13 |
Ошибка составляет:
Σ (Δ Si)2 = 0,842 + 0,262 + 1,942 + 1,852 + 1,322 + 0,782 + 0,332 + 0,022 +
+ 0,262 + 0,432 = 10,6719 .
Таким образом, адиабаты AD и BCдля заданных значений t и S
(таблицы 2 и 3) наиболее точно описывают степенные функции вида
S = A*tq ,найденные с помощью способа средних.
2.3.Применение простейших способов обработки опытных данных к
реальному процессу.
Задача 3. На рисунке 3 изображена индикаторная диаграмма работы пара в цилиндре паровой машины:
рис.3
Точки кривой ABC соответствуют значениям из таблицы 4:
| T | 7,7 | 15,8 | 23,9 | 32,0 | 40,1 | 48,2 | 56,3 | 64,4 | 72,5 | 80,6 | 88,7 |
| S | 60,6 | 53,0 | 32,2 | 24,4 | 19,9 | 17,0 | 15,0 | 13,3 | 12,0 | 11,0 | 6,2 |
Точки кривой EHD соответствуют значениям из таблицы 5:
| T | 7,7 | 15,8 | 23,9 | 32,0 | 40,1 | 48,2 | 56,3 | 64,4 | 72,5 | 80,6 | 88,7 |
| S | 5,8 | 1,2 | 0,6 | 0,6 | 0,7 | 0,8 | 0,9 | 1,0 | 1,3 | 1,8 | 5,7 |
Требуется, используя способ средних и способ наименьших квадратов,
для кривых ABC и EHD найти такие функции, графики которых наиболее приближены к данным точкам.
Для кривой BC подберем функции вида S = A*tq и S = A*ect с
помощью способа средних и способа наименьших квадратов,
соответствующие таблице 4.1:
| T | 23,9 | 32,0 | 40,1 | 48,2 | 56,3 | 64,4 | 72,5 | 80,6 | 88,7 |
| S | 32,2 | 24,4 | 19,9 | 17,0 | 15,0 | 13,3 | 12,0 | 11,0 | 6,2 |
Способом средних подберем функцию вида S = A*tq , которая
отвечает таблице 4.1. Уклонения имеют вид δ`= lgA + q*lgt – lgS.
Подставив конкретные значения S и t, получим:
δ`1 = lg A + 1,3784*q – 1,5079 ,
δ`2 = lg A + 1,5052*q – 1,3874 ,
δ`3 = lg A + 1,6031*q – 1,2989 ,
δ`4 = lg A + 1,6830*q – 1,2304 ,
δ`5 = lg A + 1,7505*q – 1,1761 ,
δ`6 = lg A + 1,8098*q – 1,1239 ,
δ`7 = lg A + 1,8603*q – 1,0792 ,
δ`8 = lg A + 1,9063*q – 1,0414 , δ`9 = lg A + 1,9479*q – 0,7924 .
Приравняв нулю сумму уклонений по этим двум группам, получим
систему уравнений для определения параметров A и q:
5*lgA+7,9202*q=6,6007 ,4*lgA+7,5234*q=4,0369 .
Решение этой системы q = -1,05 ,A = 955,94 .Таким образом, искомая
степенная функция имеет вид S = 955,94*t–1,05 .
| T | 23,9 | 32,0 | 40,1 | 48,2 | 56,3 | 64,4 | 72,5 | 80,6 | 88,7 |
| S | 34,13 | 25,12 | 19,82 | 16,34 | 13,88 | 12,05 | 10,64 | 9,52 | 8,61 |
Ошибка составляет:
Σ (Δ Si)2 = (-1,93)2 + (-0,72)2 + 0,082 + 0,662 + 1,122 + 1,252 + 1,362 +
+ 1,482 + (-2,41)2 = 17,3503 .
Способом наименьших квадратов подберем функцию вида
S = A*tq , которая отвечает таблице 4.1.
Составим вспомогательную таблицу:
| K | xk = lgSk | xk2 | yk = lgSk | xk * yk |
| 1 | 1,3784 | 1,9000 | 1,5079 | 2,0785 |
| 2 | 1,5052 | 2,2656 | 1,3874 | 2,0883 |
| 3 | 1,6031 | 2,5699 | 1,2989 | 2,0823 |
| 4 | 1,6831 | 2,8328 | 1,2304 | 2,0709 |
| 5 | 1,7505 | 3,0643 | 1,1761 | 2,0588 |
| 6 | 1,8089 | 3,2721 | 1,1239 | 2,0330 |
| 7 | 1,8604 | 3,4611 | 1,0792 | 2,0077 |
| 8 | 1,9063 | 3,6340 | 1,0414 | 1,9852 |
| 9 | 1,9479 | 3,7943 | 0,7924 | 1,5435 |
| ∑ | 15,4438 | 26,7941 | 10,6374 | 17,9477 |
Получаем систему уравнений:
15,4438*q+9*lgA=10,6374 ,26,7941*q+15,4438*lgA=17,9477.
Решение этой системы q = -1,03 , A = 900,27 .Таким образом, искомая
степенная функция имеет вид S = 900,27*t–1,03 .
| T | 23,9 | 32,0 | 40,1 | 48,2 | 56,3 | 64.4 | 72,5 | 80,6 | 88,7 |
| S | 34,25 | 25,36 | 20,10 | 16,63 | 14,17 | 12,34 | 10,92 | 9,79 | 8,87 |
Ошибка составляет:
Σ (Δ Si)2 = (-2,05)2 + (-0,96)2 + (-0,2)2 + 0,372+ 0,832 + 0,962 + 1,082 +
+ 1,212 + (-2,67)2 = 16,6709.
Способом наименьших квадратов подберем функцию вида
S = A*ect, отвечающую таблице 4.1.
Составим вспомогательную таблицу:
| K | t | t2 | y=lgSk | t*y |
| 1 | 23,9 | 571,21 | 1,5079 | 36,0328 |
| 2 | 32,0 | 1024,00 | 1,3874 | 44,3968 |
| 3 | 40,1 | 1608,01 | 1,2989 | 52,0859 |
| 4 | 48,2 | 2323,24 | 1,2304 | 59,3053 |
| 5 | 56,3 | 3169,69 | 1,1761 | 66,2144 |
| 6 | 64,4 | 4147,36 | 1,1239 | 72,3792 |
| 7 | 72,5 | 5256,25 | 1,0792 | 78,2420 |
| 8 | 80,6 | 6496,36 | 1,0414 | 83,9368 |
| 9 | 88,7 | 7867,69 | 0,7924 | 70,2859 |
| ∑ | 506,7 | 32463,81 | 10,6374 | 562,8791 |
Получаем систему уравнений:506,7*c*lge + 9*lgA = 10,6374 ,
32463,81*c*lge + 506,7*lgA = 562,8791 .
Решение этой системы c = -0,02 , A = 49,76 .Таким образом, искомая показательная функция имеет вид S = 49,76*e-0,02*t .
| T | 23,9 | 32,0 | 40,1 | 48,2 | 56,3 | 64,4 | 72,5 | 80,6 | 88,7 |
| S | 30,9 | 26,29 | 22,37 | 19,03 | 16,19 | 13,78 | 11,72 | 9,98 | 8.49 |
Ошибка составляет: