Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа (стр. 1 из 4)
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1. Многочлены Лежандра
2. Многочлены Чебышева
3. Преобразование Лапласа
4. Обращение преобразования Лапласа с помощью многочленов, ортогональных на конечном промежутке
4.1 Постановка задачи
4.2.Обращение преобразования Лапласа с помощью смещенных многочленов Лежандра
4.3. Обращение преобразования Лапласа с помощью смещенных многочленов Чебышева первого рода.
Заключение
преобразование смещенный многочлен исчисление
ВВЕДЕНИЕ
Математический анализ – раздел математики, дающий методы количественного исследования разных процессов изменения; занимается изучением скорости изменения (дифференциальное исчисление) и определением длин кривых, площадей и объемов фигур, ограниченных кривыми контурами и поверхностями (интегральное исчисление). Для задач математического анализа характерно, что их решение связано с понятием предела.
Начало математическому анализу положил в 1665 И.Ньютон и (около 1675) независимо от него Г.Лейбниц, хотя важную подготовительную работу провели И.Кеплер (1571–1630), Ф.Кавальери (1598–1647), П.Ферма (1601–1665), Дж.Валлис (1616–1703) и И.Барроу (1630–1677).
Операционное исчисление –раздел математики, занимающийся главным образом алгебраическими операциями, производимыми над символами операции (или преобразования).
Во многих задачах математического анализа рассматриваются ситуации, в которых каждая точка одного пространства ставится в соответствие некоторой точке другого (или того же) пространства. Пространства могут быть абстрактными, в которых «точки» в действительности являются функциями. Соответствие между двумя точками устанавливается с помощью преобразования или оператора. В задачу теории операторов входит подробное описание и классификация различных видов преобразований и их свойств, а также разработка символических методов, позволяющих минимизировать и упростить вычисления. Обычно теорию операторов применяют к пространствам, в которых допускается сложение или умножение точек, т.е. линейным пространствам, группам, кольцам, полям и т.д.
Операционное исчисление позволяет осуществить абстрактные постановки задач и обобщить такие разделы математического анализа, как теория дифференциальных и интегральных уравнений. Мощным стимулом для развития теории операторов стали современные проблемы квантовой теории. Наиболее полные результаты получены для дистрибутивных операторов в т.н. гильбертовом пространстве. Интерес к этой области во многом связан с представлением таких операторов интегральными преобразованиями.
В середине XIX века появился ряд сочинений, посвящённых так называемому символическому исчислению и применению его к решению некоторых типов линейных дифференциальных уравнений. Сущность символического исчисления состоит в том, что вводятся в рассмотрение и надлежащим образом интерпретируются функции оператора дифференцирования.
.Среди сочинений по символическому исчислению следует отметить вышедшую в 1862 году в Киеве обстоятельную монографию русского математика М. Е. Ващенко-Захарченко «Символическое исчисление и приложение его к интегрированию линейных дифференциальных уравнений». В ней поставлены и разрешены основные задачи того метода, который в дальнейшем получил название операционного.
В 1892 году появились работы английского учёного О. Хевисайда, посвящённые применению метода символического исчисления к решению задач по теории распространения электрических колебаний в проводах.
В отличие от своих предшественников, Хевисайд определил обратный оператор однозначно, полагая и считая f(u) = 0 для u < 0. Труды Хевисайда положили начало систематическому применению символического, или операционного, исчисления к решению физических и технических задач.
Однако широко развитое в трудах Хевисайда операционное исчисление не получило математического обоснования, и многие его результаты оставались недоказанными. Строгое обоснование было дано значительно позже, когда была установлена связь между функциональным преобразованием Лапласа и оператором дифференцирования
если существует производная
, для которой 
существует и f(0) = 0, то
.Одним из наиболее мощных средств решения дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так, особенно, в частных производных, является метод интегральных преобразований. Преобразования Фурье, Лапласа, Ганкеля и другие применяются для решения задач теории упругости, теплопроводности, электродинамики и других разделов математической физики. Использование интегральных преобразований позволяет свести дифференциальное, интегральное или интегро-дифференциальное уравнение к алгебраическому, а также, в случае дифференциального уравнения в частных производных, уменьшить размерность.
Интегральные преобразования задаются формулой
, (1)где функции
называются оригиналом и изображением соответственно, и являются элементами некоторого функционального пространства 
, при этом функция 
называется ядром интегрального преобразования.Большинство интегральных преобразований являются обратимыми, то есть по известному изображению можно восстановить оригинал, зачастую также интегральным преобразованием:
(2)Хотя свойства интегральных преобразований достаточно обширны, у них довольно много общего.
преобразование смещенный многочлен исчисление
1. Многочлены Лежандра
Многочлены Лежандра — многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов, на отрезке
по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов 
ортогонализацией Грама ― Шмидта.Названы по имени французского математика Адриен Мари Лежандра.
Многочлены Лежандра определяются по формуле (называемой формулой Родрига)
(3)часто записываемой в виде:
(4)Многочлены Лежандра также определяются по следующим формулам:
, если 
; 
, если 
.Они также могут быть вычислены по рекуррентной формуле:
Первые многочлены Лежандра равны:
2. Многочлены Чебышева
Многочлены Чебышева — две последовательности многочленов Tn(x) и Un(x),
названные в честь Пафнутия Львовича Чебышева.Многочлены Чебышева играют важную роль в теории приближений, поскольку корни многочленов Чебышева первого рода используются в качестве узлов в интерполяции алгебраическими многочленами.
Многочлен Чебышева первого рода Tn(x) характеризуется как многочлен степени n со старшим коэффициентом 2n - 1, который меньше всего отклоняется от нуля на интервале [ − 1,1]. Впервые рассмотрены самим Чебышёвым.
Многочлены Чебышева первого рода Tn(x) могут быть определены с помощью рекуррентного соотношения:
