Булевы функции (стр. 5 из 7)

fmin=

Заметим, что разбиение конституент на группы позволяет уменьшить число попарных сравнений при склеивании.

7.3 Метод диаграмм Вейча

Метод позволяет быстро получать минимальные ДНФ булевой функции fнебольшого числа переменных. В основе метода лежит задание булевых функций диаграммами некоторого специального вида, получившими название диаграмм Вейча. Для булевой функции двух переменных диаграмма Вейча имеет вид (табл. 15). Каждая клетка диаграммы соответствует набору переменных булевой функции в ее таблице истинности. В табл.15. это соответствие показано. В клетке диаграммы Вейча ставится единица, если булева функция принимает единичное значение на соответствующем наборе. Нулевые значения булевой функции в диаграмме Вейча не ставятся. Для булевой функции трех переменных диаграмма Вейча имеет следующий вид (табл. 16). Добавление к ней еще такой же таблицы дает диаграмму для функции 4-х переменных (табл. 17). Таким же образом, т. е. приписыванием еще одной диаграммы 4-х переменных, к только что рассмотренной, можно получить диаграмму для функции 5-ти переменных и т. д., однако диаграммы для функций с числом переменных больше 4-х используются редко.

Для приведенных диаграмм характерно следующее:

1) каждой клетке диаграммы соответствует свой набор;

Таблица 15. Таблица 16.


11	01	110	111	011	010
10	00	100	101	001	000

Таблица 17. Таблица 18.

				х1
х1	1100	1101	1001	1000		1	1	1
х1	1110	1111	1011	1010	х3	1
	0110	0111	0011	0010	х3
	0100	0101	0001	0000
	х4	х4

2) соседние наборы расположены рядом в строке либо в столбце. Соседними наборами называются наборы, отличающиеся одной компонентой. Напомним, что конституенты, соответствующие таким наборам, склеиваются (см. метод Квайна-Мак-Класки). Например, для функции, заданной табл. 18, конституенты, соответствующие паре единиц в левой части таблицы, склеиваются и порождают элементарное произведение из двух букв:

О паре единиц в правой части диаграммы можно сказать то же самое:

Отметим, что получающееся элементарное произведение легко определить сразу по диаграмме: это произведение переменных, принимающих одно и то же значение в обеих клетках.

Еще одно важное замечание: столбцы, расположенные по краям диаграммы, тоже считаются соседними. Для нашего примера это означает, что имеет место еще одно склеивание, в результате которого, следуя указанному правилу, получаем элементарное произведение

. Из рассмотренных ранее методов нам известно, что возможно дальнейшее склеивание получаемых элементарных произведений. На диаграммах Вейча они тоже располагаются рядом. Общее правило склеивания на диаграммах Вейча можно сформулировать следующим образом: склеиванию подлежат прямоугольные конфигурации, заполненные единицами и содержащие число клеток, являющееся степенью 2. Получающееся новое элементарное произведение определяется как произведение переменных, не меняющих своего значения на всех склеиваемых наборах. Число mоставшихся переменных в элементарном произведении определяется легко:

m=n-log2M,

где n- число переменных,

M- число склеиваемых наборов.

Метод широко используется на практике, благодаря простоте и удобству. После небольшой тренировки достигается элементарный навык определения минимальной ДНФ по диаграмме «с первого взгляда».

Минимизация булевой функции заключается в нахождении минимального покрытия всех единиц диаграммы Вейча блоками из единиц (указанной конфигурации), расположенных в соседних клетках диаграммы. При этом всегда считается, что левый край диаграммы Вейча 4-х переменных примыкает к ее правому краю, а верхний край диаграммы примыкает к нижнему ее краю. Для удобства можно предположить, что диаграмма сворачивается в цилиндр как по горизонтали, так и по вертикали. После получения минимального покрытия всех единиц диаграммы Вейча, минимальная ДНФ булевой функции записывается как дизъюнкция элементарных конъюнкций, соответствующих выделенным блокам единиц в диаграмме.

В диаграмме Вейча необходимо и достаточно, чтобы каждая единичная клетка участвовала в склейке хотя бы один раз.

Новую склейку можно образовывать в том случае, если есть хотя бы одна единичная клетка, не участвовавшая до этого в склейке.

Вся диаграмма должна быть покрыта наименьшим количеством склеек. В склейку может входить 2nсоседних клеток (2, 4, 8, 16. и т.д.).

Рассмотрим несколько примеров.

Таблица 19 Таблица 20

X4 X3


х1		х1	1	1
х1	1	1	х3	х1	1	1	1	1	х3
	1	1	х3		1	1	1	1	х3
	1	1			1	1
	х4	х4			х4	х4

f1=

f2= X4 vX3