Евклідова і неевклідова геометрії (стр. 11 из 14)
Псевдоевклідовий тривимірний простір
а) узагальнимо побудови псевдоевклідової площини на тривимірні простори. Аксіоми псевдоевклідового тривимірного простору збігаються з аксіомами Вейля псевдоевклідової площини, за винятком аксіом розмірності III. Тепер в аксіомі III-I мова йде про існування трьох лінійно незалежних векторів, а в аксіомі III, 2 - усякі чотири вектори лінійно залежні.
Скалярний добуток двох векторів 
,
у псевдоевклідовом просторі будемо позначати, як і у випадку псевдоевклідової площини, символом 
. Вектори , - перпендикулярні, якщо їхній скалярний добуток дорівнює нулю.Число
називається скалярним квадратом вектора. Довжиною вектора називається корінь квадратний зі скалярного квадрата цього вектора й позначається через 
: 
.Підкореневе вираження може бути >0, <0, і = 0. Довжини векторів відповідно до цим випадкам будуть речовинні, чисто мнимі й нульові. Вектори речовинної довжини називаються також просторовими, вектори чисто мнимої довжини - тимчасовими й вектори нульової довжини - ізотропними.
У псевдоевклідовом просторі вводиться прямокутна система координат. По визначенню так називається афінна система координат, вектори якої
одиничні й взаємно перпендикулярні. Будемо розглядати так званий простір Минковського, у якому із трьох координатних векторів прямокутної системи координат два одиничні, а третій — мнимо одиничний. Будемо вважати, що 
(3.12)У цій системі координат скалярний добуток двох векторів і квадрат довжини вектора , мабуть, обчислюються по формулах виду
І квадрат довжини вектора , мабуть, обчислюються по формулах виду
, (3.13) 
. (3.14)За відстань між двома крапками М(x1, x2, x3) і N(y1, y2, y3) по визначенню приймається довжина вектора
, тобто 
. (3.15)
Величиною кута між векторами й
називається число, певне по формулі 
.Якщо вектори 
,
однієї природи, тобто обоє просторові або тимчасові, то 
. Більше того, 
, якщо для х, у виконується нерівність Коші й 
, якщо нерівність це не виконується. Думаючи в останньому випадку 
, одержимо 
.б) У псевдоевклідовом просторі існує три типи прямих залежно від природи її напрямного вектора. Тут існують також три види площин залежно від природи її нормального вектора.
в) Докладніше розглянемо питання про сфери. Сферою псевдоевклідова простору П3 називається множина крапок цього простору, що відстоять від даної крапки А, називаної центром сфери, на те саме відстань r. Величина r називається радіусом сфери.
Вибираючи прямокутну систему координат з початком у центрі сфери, переконаємося в тім, що координати х1, х2, х3 поточні крапки сфери радіуса r задовольняють рівнянню
. (3.17')
Ясно, що перші два координатних вектори прямокутної системи тут передбачаються одиничними, а третій вектор - мнимо одиничним.
У псевдоевклідовом просторі існують три типи сфери речовинного, чисто мнимого й нульового радіуса.
Рівняння сфери речовинного радіуса r збігається (3.17'), у якому величина r речовинна. Якщо сфера чисто мнимого радіуса r = ki, де k речовинне, то рівняння (3.17') приводиться до виду
(3.17)
Якщо ж сфера буде нульового радіуса, то з (3.15) треба, що
. (3.18)
Рівняння (3.18) в евклідовому просторі є рівнянням конуса, а попередні два - рівняння гіперболоїдів.
Ясно, що конус (3,18) складається з асимптот сфер (3.17, 17'), що мають центр на Начало координат. Очевидно, асимптотичеський конус сфери збігається з ізотропним конусом її центра. З рівняння (3.15) треба також, що на сферах псевдоевклідова простори є прямолінійні утворюючі - прямі цілком лежачі на сфері.
Очевидно, лінією перетинання сфери із площиною є окружність. Якщо січна площина проходить через Начало Координат, то радіус окружності приймає значення, рівне радіусу сфери. Одержувані в такий спосіб окружності сфери називаються більшими окружностями.
За сферичну відстань 
між двома крапками М ( ), N (
) сфери приймаємо відстань по великій окружності, що з'єднує дані крапки. Очевидно, ця відстань рівняється добутку радіуса сфери на значення кута, утвореного радіусами векторами , . Отже, сферична відстань визначається по формулі 
. (3.19)Якщо сфера чисто мнимого радіуса r = ki, то формула (3.19) приводиться до виду
.Геометрія Лобачевского
Переконаємося тепер, що геометрія сфери чисто мнимого радіуса в псевдоевклідовом просторі є Двомірною геометрією Лобачевского. Обмежуючись лише однієї, наприклад, верхньої порожньої сфери, покажемо, що в множині її крапок і більших окружностей здійснюється планіметрія Лобачевского. Для простоти ці крапки можна спроектувати із центра сфери на дотичну до неї площина в крапці N. Криву перетинання дотичної площини з ізотропним конусом будемо називати абсолютом.
При проектуванні крапки півсфери перейдуть у внутрішні крапки кола, обмеженого абсолютом, а більші окружності - у хорди абсолюту. Очевидно, останні є лініями перетинання площин більших окружностей із внутрішністю абсолюту. Інцідентність крапок і прямих розуміється у звичайному змісті. Ясно, що в системі крапок внутрішності абсолюту і його хорд аксіоми 1,1 - 3 виконуються. Аналогічно аксіоми II порядку й IV безперервності переходять у щирі пропозиції геометрії дотичної площини. Що стосується аксіом III групи - аксіом конгруентності, те вони також переходять у щирі пропозиції тривимірної псевдоевклідової геометрії. При цьому вважаємо конгруентними ті відрізки (кути), яким на сфері чисто мнимого радіуса відповідають сфери дуги більших окружностей, що сполучаються при деяких, обертаннях (кути між більшими окружностями).
З'ясуємо тепер, яка виконується аксіома паралельності: V або V'.
Припустимо, що нам дана на верхній півсфері більша окружність і не лежача на ній крапка. У зв'язуванні прямих і площин, центр якого збігається із центром сфери, цієї великої окружності й крапці відповідають відповідно площина
й пряма a зв'язування.Очевидно, що через пряму а можна провести незліченну множину площин зв'язування, що розсікають півсферу по більших окружностях, що не перетинаються з даною великою окружністю. У такий спосіб у розглянутій моделі виконується аксіома паралельності Лобачевского. Інакше кажучи, площинна геометрія Лобачевского збігається з геометрією сфери чисто мнимого радіуса.