Евклідова і неевклідова геометрії (стр. 13 из 14)
Будемо видаляти тепер крапку З по промені нескінченно, прагне при цьому до 1 і в межі, одержимо
Звідси треба, що
Вставляючи в останню рівність
остаточно одержимо
Ця формула, що зв'язує кут паралельності П(р) з відповідним відрізком р, називається основною формулою Лобачевского. З її треба, що кут паралельності є монотонно убутною функцією. Якщо відрізок паралельності р прагне до нуля, то кут паралельності прагне до прямого кута, якщо ж р прагне до нескінченності, то кут П(р) прагнути до нуля.
Геометрія сфери простору Лобачевского
Візьмемо в тривимірному просторі Лобачевского сферу радіуса R із центром у деякій крапці О. На цій сфері індуцирується деяка сферична геометрія. сукупність, Що Виходить, пропозицій називається геометрією сфери в просторі Лобачевского. Розглянемо в цій геометрії прямокутний трикутник AВС, утворений з дуг АВ = з, АС = b, ВР = a більших кіл. Дуги більших кіл тут, як і в сферичній геометрії звичайного простору є найкоротшими для досить близьких крапок на сфері. Кути між більшими колами розуміються як лінійні кути двогранних кутів, утворених площинами більших кіл. Припустимо, що кут З даного трикутника прямої. Опустимо далі із крапки В перпендикуляри ВА1і ВР1на радіуси ОА й ОС відповідно. Застосовуючи відомі формули до прямокутного трикутника ОВС1(мал. 20), одержимо
Аналогічно із трикутників ОВА1і А1ВР1треба, що
Крім із цих трьох співвідношень ВР1і ВA1, одержимо формулу
співпадаючу з відповідною формулою для прямокутного сферичного трикутника в евклідовому просторі. Виведемо тепер теорему Піфагора для прямокутного трикутника ABС у геометрії сфери в просторі Лобачевского. Із трикутника ОВС1маємо
Аналогічно із трикутників ОВА1і OA1C1відповіднотреба, що
Крім із отриманих трьох рівностей відрізки ОС1і OA1 виводимо
Ця формула збігається з відповідною формулою для прямокутного трикутника звичайної сферичної геометрії. Зазначеним способом можна переконатися, що в цілому геометрія сфери простору Лобачевского збігається з геометрією сфери Евклідова простору.
Про геометрію Лобачевского в малому
Припустимо тепер, що в трикутнику лінійні розміри a, b, c малі в порівнянні з радіусом кривизни k простору. Це припущення свідомо виконується для трикутників з малими лінійними розмірами або в просторі досить малої кривизни 1/k2. Розкладаючи в статечні ряди гіперболічні функції у формулі (3.26), що виражає теорему косинусів у геометрії Лобачевского, одержимо
З огляду на тут члени до другого порядку малості включно, будемо мати
a2 = b2 + c2 – 2 bc cosA.
Ця залежність між елементами трикутника виражає теорему косинусів в евклідовій геометрії. У випадку прямокутного трикутника cosA=0; отже,
a2 = b2 + c2
т. е. справедлива теорема Пифагора. Далі при наших припущеннях синуси гіперболічні у формулі (3.28) у першому наближенні пропорційні аргументам, тому
т. е. сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів. Останні три рівності дозволяють затверджувати, що формули геометрії Лобачевского для фігур з малими лінійними розмірами збігаються з відповідними формулами евклідової геометрії.
2.4 Різні моделі площини Лобачевского. Незалежність 5-го постулату Евкліда від інших аксіом Гильберта
У попередньому параграфі познайомилися з основними формулами двомірної геометрії Лобачевского, які в той же час були формулами геометрії сфери чисто мнимого радіуса в псевдоевклідовом просторі.
Ця сфера, по суті, є одна з можливих моделей площини Лобачевского. Інша модель - модель Бельтрами-Клейна. Вона вийшла з першої моделі шляхом центрального проектування крапок сфери на яку-небудь її дотичну площину. Остання, мабуть, буде евклідовою площиною.
Площина Лобачевского в моделі Бельтрами-Клейна зображується у вигляді внутрішності кола, причому прямі зображуються хордами. Пересічні прямі зображуються пересічними хордами. Якщо загальна крапка буде прагнути по одній із прямих до нескінченності, то паралельні прямі будуть зображуватися хордами, загальна крапка яких належить абсолюту (обмежуючої внутрішність кола окружності). Нарешті, зверхпаралельні прямі в розглянутій моделі зображуються хордами, які, будучи продовжені, перетнуться в крапці, що належить зовнішньої області абсолюту.
Неважко переконатися, що пучок прямих першого роду при Даному відображенні переходить у сукупність хорд, що перетинаються в загальній крапці, що належить внутрішності абсолюту. Пучок прямих другого роду, тобто прямих, паралельних один одному в даному напрямку, переходить у сукупність хорд, що перетинаються в деякій крапці абсолюту. Нарешті, пучок прямих третього роду відображається в сукупність хорд, що перетинаються в деякій крапці поза абсолютом.Крапки абсолюту називаються нескінченно вилученими крапками й крапки поза абсолютом - ідеальними крапками площини Лобачевского. Тому пучки прямих другого й третього родів називаються іноді пучками з нескінченно вилученими або відповідно ідеальними центрами.
Неважко переконатися також, що вісь пучка прямих третього роду є полярою полюса - свого ідеального центра. Справді, допустимо, що вісь пучка не є полярою ідеального центра. Припустимо, наприклад, що вона не проходить через крапку перетинання поляри крапки Р сабсолютом. Тоді на площині Лобачевского буде існувати пряма СС1 одночасно перпендикулярна й паралельна до прямій СВ, що неможливо.
Переносячи по відображенню у внутрішність абсолюту основні поняття відображуваної площини Лобачевского, у підсумку одержимо так звану модель Бельтрами-Клейна.
Ясно, що до моделі Бельтрами-Клейна можна прийти безпосередньою перевіркою аксіом Гильберта I-IV і аксіоми паралельності Лобачевского в множині крапок внутрішності кола і його хорд, уводячи між ними відповідним чином основні відносини. Крапками й прямими в цій моделі є внутрішні крапки абсолюту і його хорди без кінців. „інцідентність" крапок і прямих, а також „между" для трьох крапок, що належать одній прямій, розуміються у звичайному змісті. Два відрізки (кута) уважаються конгруентними, якщо вони будуть відповідними при деякому взаємно однозначному крапковому відображенні розширеної (за рахунок додавання невласної прямої) евклідової площини, при якому абсолют залишається незмінними „прямі" переходять в „прямі".
У моделі Бельтрами-Клейна довжини й кути спотворюються, якщо малюнки 23, 24 розуміти в евклідовому змісті.
У розглянутій моделі через крапку А, дану поза прямій а, можна провести прямі, які перетинають пряму а; прямі АU, АV, паралельні а й, нарешті, прямі b – зверх паралельні, що розташовуються у внутрішності заштрихованих вертикальних кутів. У цій моделі виконуються всі аксіоми Гильберта, у тому числі й аксіома Лобачевского. Відстань d(А, В) між двома крапками A, У в моделі Бельтрами-Клейна виражаються за допомогою проективних понять. Якщо хорда АВ перетинає абсолют у крапках М, N, то
де (ABMN) позначає подвійне відношення зазначених чотирьох крапок (АМ: ВМ): (АN: BN). У самому діді, припустимо, що
(4.1)є рівнянням абсолюту в однорідних координатах. Крім того, за умовою нам дані крапки А(аi) і В(bi). Становлячи рівняння прямій АВ, одержимо
(4.2)Щоб знайти крапки перетинання М, N, прямій АВ з абсолютом, вирішимо спільно систему рівнянь (4.1) і (4.2) щодо невідомих
. Вставляючи з рівності (4.2) у рівняння (4.1), одержимо 
. (4.3)